Экстремум функции нескольких переменных

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

(1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M₀ – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M₀,

и

– определитель второго порядка.

Если >0, то экстремум в точке M₀ есть, при этом M₀ – точка минимума при A>0 и M₀ – точка максимума при A<0. Если <0, то экстремума в точке M₀ нет.

При =0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M₀, мы не будем рассматривать этот случай.

Пример. Найти экстремумы функции z = x³ + y³ – 6xy.

Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого находим частные производные функции z = x³ + y³ – 6xy, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

.

Получили две стационарные точки: М₁(0; 0), М₂(2; 2). Выясним, есть ли в этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.

.

1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М₁:

.

Находим определитель :

.

Поскольку   0, то экстремума в точке М₁ нет.

2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М₂.

.

Определитель .

Поскольку   0 и А  0, то М₂ – точка минимума.

z_min = z(2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8 .

Ответ: z_min = z(2, 2) = − 8 .

Дифференциальные уравнения

Для решения дифференциального уравнения 1-го порядка нужно сначала определить его тип, чтобы выбрать правильный метод решения. Разберем методы решения трех важнейших типов уравнений 1-го порядка.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида или . Для нахождения общего решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду и проинтегрировать это равенство:

.

Пример. Покажем, как решается уравнение . Заметим, что если в левой части уравнения оставить только , то правая часть уравнения раскладывается в произведение двух множителей, один из которых зависит только от , другой – только от : . Запишем как отношение дифференциалов , получим , откуда . Для разделения переменных делим обе части равенства на , считая, что : , откуда или .

Обозначим и потенцируем равенство:

,

,

,

.

Если , то и . Подставив в первоначальное уравнение, получим , то есть является решением нашего уравнения. Оно получится из равенства , если .

Значит, общее решение уравнения имеет вид , где – произвольная постоянная.

2. Дифференциальное уравнение называется однородным уравнением 1-го порядка.

Его решение можно найти с помощью введения новой неизвестной функции по формуле . В случае такой замены имеют место очевидные соотношения .

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Разделив обе части уравнения на и на , приведем его к виду

или .

Правая часть уравнения зависит только от отношения , то есть это однородное уравнение 1-го порядка. Полагаем , получим уравнение

.

Произведем в нем разделение переменных:

,

,

.

(обе части уравнения делим на , считая здесь, что ).

Тогда, , откуда, заменяя , найдем , или . Подставив и упростив, получим .

Если же , то , и, значит, и . Подставив в первоначальное уравнение, получим . Значит, тоже является решением данного уравнения.

Ответ. .

3. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая . Тогда . Подставляя в уравнение, получим

.

Найдем функцию , удовлетворяющую уравнению . Тогда для функции получим уравнение . Если – его общее решение, то общее решение данного линейного уравнения имеет вид .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Перепишем уравнение в виде . Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Ищем решение в виде , тогда . Подставляя в уравнение, получим

.

Для получим уравнение . Разделяем в нем переменные и интегрируем:

.

, или .

Тогда для функции получим уравнение

,

откуда . Интегрируем обе части этого равенства:

.

Тогда .

Ответ: .

Для решения следующих типов уравнений 2-го порядка нужно знать методы понижения порядка дифференциального уравнения.

1. Если дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит явно функцию , т.е. имеет вид , то полагаем , где – функция от . Тогда , и получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно новой неизвестной функции .

Пример. Уравнение не содержит функцию . Обозначим , тогда . Подставляя в данное уравнение, получим . В этом уравнении можно разделить переменные:

,

.

Интегрируя, получим , откуда . Подставив , получим , тогда и .

2. Если дифференциальное уравнение не содержит явно аргумент , т.е. имеет вид , то полагаем , где – функция от .

Тогда . Получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно новой неизвестной функции .

Пример. В дифференциальном уравнении отсутствует . Обозначим , где , тогда . Получаем уравнение , или .

Если , то , то есть . При получим уравнение . В нем можно разделить переменные и проинтегрировать:

,

,

откуда . Подставив здесь , получим . Это тоже дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, ,

откуда, интегрируя, найдем соотношение .

Ответ: .