Диференціальне рівняння гармонійних коливань
Хай
кулька масою
прикріплена двома пружинами. .В положенні
рівноваги координата центру кульки
рівна нулю. Змістимо кульку у напрямі
осі ох. Тоді згідно закону Гука на кульку
діє сила, пропорційна зсуву x де знак
мінус указує, що поновлююча сила
направлена убік, протилежну напряму
зсуву. По другому закону Ньютона маємо
.
(14)
З
рівності (13) і(14) виходить
(15)
Оскільки
прискорення
прямолінійного руху є друга похідна
координати (шляхи) за часом
,то
рівність (15) можна переписати у вигляді
.
Поклавши,
отримуємо
.
Рівняння (16) є лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Якщо фізична величина змінюється в часі відповідно до рівняння(16),то говорять, що вона здійснює гармонійні коливання.
Тому рівняння (16) називається диференціальним рівнянням гармонійних коливань.
Вирішимо
рівняння(16). Для це складемо характеристичне
рівняння і знайдемо його корені ,т.е
.
Отже, загальним рішенням рівняння (16) буде функція
.(17)
Замість
довільних постійних
введемо нові довільні постійні
які пов'язані з постійними
співвідношеннями
(18)
Тоді рівність (17) прийме вигляд
або
.
(19)
Рівність(19) є рівнянням гармонійних коливань. Величина є найбільшим відхиленням тіла від положення рівноваги і називається амплітудою коливання.
З
рівності(18) виходить
.
Оскільки
-
періодична функція з найменший період
гармонійного коливання знайдемо з
рівності
звідки
(20)
Величина
називається частотою коливання.
Нарешті,
величину
називають початковою фазою гармонійного
коливання і знаходять з рівності (18).
Завдання для самоконтролю:
Катер рухається в спокійній воді із швидкістю 18 км/ч. Через 5мин після виключення двигуна його швидкість зменшилася до 6 км/ч. Визначити відстань, пройдену катером за інерцією за 15 мін, якщо опір води пропорційний швидкості руху катера.
Відповідь:км.
Диск, почавши обертатися в рідині із швидкістю 3 об/мин, через одну хвилину обертається із швидкістю 2об/мин. Визначити кутову швидкість диска 3 мін після початку обертання, якщо при він робив 120об/мин, а при мін його швидкість стала 80 об/мин.
Відповідь:
об/мин
На початок радіоактивного розпаду мали 100 г радію. Скільки радію розпадається за 200 років, якщо період його напіврозпаду рівний 1590 рокам?
Відповідь: 8,35 р.
Знайти рівняння гармонійних коливань, якому задовольняє функція
Лекція №1 Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
Мета: Узагальнити та систематизувати знання про диференціальні рівняння, диференціальні рівняння з відокремленими змінними..
Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних рівнянь, використання поняття інтегралів.