Лекція № 4. Диференціальні рівняння вищих порядків. Неповні диференціальні рівняння другого порядку.

Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні рівняння вищих порядків, неповні диференціальні рівняння другого порядку.

Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних рівнянь, використання поняття інтегралів.

План

1. Диференціальні рівняння вищих порядків.

2. Неповні диференціальні рівняння.

3. Приклад.

Домашне завдання: Індивідуальні завдання.

Рівняння, яке містить похідну (диференціал) не вище другого порядку, називається диференціальним рівнянням другого порядку. Рівняння другого порядку має вигляд: .

Загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку має дві постійні сталі.

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання: Це неповне диференціальне рівняння другого порядку виду . Нехай , тоді дане рівняння можна записати у вигляді

Інтегруємо:

,

- загальний розв’язок..

Приклад 2.

Знайти часний розв’язок рівняння , якщо при х=0.

Розв’язання: ; тоді , тобто . Розділимо рівняння та про інтегруємо

(*), .

Інтегруємо, та знаходимо загальний розв’язок даного рівняння: (**).

Знаходимо часні розв’язки: , або , звідси маємо .

Часний розв’язок має вигляд .

Приклад 3. Знайти часний розв’язок рівняння , якщо у=2, та при х=2.

Розв’язання:

; тоді . Отримуємо . Розділяємо змінні та інтегруємо звідки .

Відповідно (*) .

Знаходимо загальний розв’язок рівняння: (**).

Знаходимо часний розв’язок рівняння: , тоді , тобто часний розв’язок має вигляд : .

Приклад 4. Знайти часний розв’язок рівняння

, якщо , ; .

Розв’язання:

Заміна , , ;

- загальний розв’язок рівняння.

Н айдемо часний розв’язок рівняння:

- часний розв’язок рівняння

Приклад 5. Прискорення точки, яка рухається прямолінійно, задано рівнянням а = 24t +6. Знайти закон руху цієї точки, якщо в момент часу t = 1c, її швидкість V =2 м/c, і відстань 4 м.

Розв’язання:

Відповідь:

Приклад 6.

Розв’язання:

Відповідь: S = 3t³ + t² + 38t + 52

Розв’язати самостійно:

Знайти часні розв’язки рівнянь, які задовольняють початковим умовам.

1. ; у=2 при х =0, у =3 при х =1.

2. ; у=0 при х =0, у =1 при х =1.

3. ; s=0 і , при t=0.