Лекція №2 Лінійні однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні рівняння першого порядку, однорідні диференціальні рівняння.

Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних рівнянь, використання поняття інтегралів.

План вивчення теми.

1. Загальний вид лінійного диференціального рівняння.

2. Розв’язування прикладів.

Домашне завдання: індивідуальні завдання.

Загальний вид такого рівняння , (1)

де и - завданні функції от . Це рівняння лінійне відносно функції y(x) та її похідної.

Якщо , то лінійне диференціальне рівняння (1) називається однорідним. Воно має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, ,

, ,

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Якщо , то рівняння(1) має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Приклад №1 Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна , тоді та рівняння перетворюється до виду

, або .

Розв’язуємо рівняння та .

Розв’язуємо рівняння : ; маємо

, , , , .

, , , .

.

Приклад №2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання: Це лінійне рівняння: . Заміна , тоді , . Рівняння перетворюється до виду: , або . (**)

.

Розділимо в цьому рівнянні змінні та про інтегруємо, маємо

Підставляємо тепер вираз для U в рівняння (**), тоді отримуємо рівняння , або . Знаходимо .

Получаємо загальний розв’язок даного рівняння:

Пример№3. Знайти часний розв’язок диференціального рівняння

, при .

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна ; тоді та рівняння перетворюється до виду

, . (*)

Положив ; тоді

, . , або .

При рівняння(*) має вид , ,

, .

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

.

Підставив в це рівняння начальні умови , получимо , .

Часний розв’язок диференціального рівняння має вид .

Пример№4. Знайти часний розв’язок диференціального рівняння , якщо у=1 при х=0.

Розв’язання. Розділимо всі члени даного рівняння на , маємо , яке є лінійним . Заміна , тоді , . Підставимо все в рівняння, та маємо , або (***)

Отримуємо рівняння , . Підставляємо вираз в рівняння (***), та маємо , або , тобто .

Загальний розв’язок записуємо так: .

Маємо у=1, х=0, тому .

Часний розв’язок має вигляд: .

Приклади.

1.

2.

; ;

Підставляємо вираз в рівняння

3.

.

4.

5.

.

6.

Загальний розв’язок :