5. Производные тригонометрических функций:

(sinx)' =cosx

(cosx)' = - sinx

(tgx)' = 1/cos²x

(ctgx)' = -1/sin²x

Примеры: y = 1+sinx, y' = (1+sinx)' = cosx

у = cosx – tgx , у' = - sinx – 1/ cos² x

Производная сложной функции:

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x)))' = f '(g(x))·(g'(x))

(sin u)' =cos u·u', где u = f (x)

(cos u)' = - sin u·u'

(tg u)' = u' /cos²u

(ctg u)' = - u' /sin² u

Примеры:

1) (sin 5х)' =cos 5х·(5х)'= cos 5х·5 = 5 cos 5х

2) (tg 2х)' = (2х)' /cos² 2х = 2 / cos² 2х

3) ((6х³ – 2х)⁵)' = 5(6х³ – 2х)^5-1·(6х³ – 2х)' = 5(6х³ – 2х) ⁴·(18х² – 2)

4) (√7х - 6)' =			(7х - 6)'		=		7
			2 √7х - 6				2 √7х - 6
5) ﴾	1	﴿'=	-	(3х + 8)'		=	-	3
	3х + 8			(3х + 8)2				(3х + 8)2

Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.

Производная функции f(х) в точке x_o равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х_о.

Получим уравнение касательной к графику функции f(x), в точке А(х_о;f(x_о))

у = kx + b - уравнение прямой,

k = f '(x_o) - угловой коэффициент касательной, получим уравнение

(1) y = f '(x_o)·х + b . Найдем b.

Координаты точки А удовлетворяют данному уравнению, подставим их в уравнение (1), получим:

(2) f(x_o) = f '(x_o)·x_o+b, выразим b из уравнения (2)

b = f(x_o) - f '(x_o)x_o и подставим в уравнение (1) . Получим:

y = f `(x<sub>o</sub>)·x + f(x<sub>o</sub>) - f `(x_o)·x_o. Упростим это уравнение, получим:

y=f(xo)+f '(xo)(x - xо)

-уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х_о.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции f(X) в точке хо.

1. Найти значение функции в точке х_о : f(x_o)

2. Найти производную функции f '(x)

3. Найти значение производной функции в точке х_о: f '(x_o)

4. Написать уравнение касательной y=f(x_o)+f '(x_o)(x - x_o)

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Правило исследования функции на монотонность.

Определение: точка, принадлежащая области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой функции.

Теорема:

Если f '(х)>0 на интервале (a,b), то функция f(х) возрастает на этом интервале.

Если f '(х)<0 на интервале (a,b) то функция f(х) убывает на этом интервале.

Пояснение:

Пусть дана функция у =f(x) на интервале (a,b).

Известно, что f ' (x_о) = tg α = k, где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, k – угловой коэффициент касательной к графику функции.

Если f '(x)>0 на промежутке, то на этом промежутке tg α >0 , т.е. угол наклона касательной острый, следовательно f(x) возрастает на этом промежутке.

Аналогично, если f '(x)<0, то tg α <0, а угол наклона касательной α тупой, следовательно, функция убывает.

Вывод:

*если f '(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке,

*если f '(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Исследование функции на возрастание и убывание.

1. найти область определения функции;

2. найти критические точки функции, т.е.внутренние точки области определения , в которых производная f '(x)=0 или не существует;

3. полученные точки нанести на числовую прямую, эти точки делят всю числовую прямую на интервалы, на которых производная сохраняет знак;

4. определить знак производной на каждом полученном интервале;

5. сделать вывод о возрастании и убывании функции.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку

Пример: f(x)=x³ - 3x²

1. Область определения: D(f)=R

2. Производная: f '(x)=3x² - 6x

Решим уравнение: 3x²-6x=0

3x(x-2)=0

3. x₁=0, x₂=2 – критические точки, наносим их на числовую прямую

+ - +

0 2 х

4. Определяем знак производной на полученных интервалах

f '(x)>0 на промежутках(-∞;0) и (2;+∞)

f '(x)<0 на промежутке (0;2)

Точки 0 и 2 включаются в промежутки, т.к функция в этих точках непрерывна

5. функция убывает при х є [0;2]

функция возрастает при x є (-∞;0] и [2;+∞)

Экстремум функции. Правило исследования функции на экстремум.

Необходимое условие экстремума:

Теорема Ферма:

если точка х_о является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна 0.

х_о- точка экстремума => f '(x_o)=0

Достаточное условие существования экстремума:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х_о и имеет производную в окрестности этой точки, тогда:

- если производная при переходе через х_о меняет знак с «+» на «-», то точка х_о- является точкой максимума функции;

- если производная меняет знак «-» на «+» , то х_о- является точкой минимума функции;

- если производная при переходе через точку х_о не меняет знак, то функция не имеет экстремума в точке х_о.

Алгоритм исследования функции на экстремум.

1. найти область определения функции;

2. найти критические точки функции (f '(x)=0 или не существует);

3. исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки;

4. определить точки экстремума функции (достаточное условие);

5. найти значения функции в точках экстремума.

Пример: f(x)=x³ - x⁴

1) D(f)=R

2) f `(x)=3x² - 4x³

3x² - 4x³=0

x² (3 - 4x)=0

x₁=0 , x₂=3/4 - критические точки

3) Наносим критические точки на числовую прямую

+ + -

0 3/4 х

f '(x)>0 на промежутках(-∞;0) и (0;3/4)

f '(x)<0 на промежутке (3/4;+∞)

4) В точке х = ¾ производная функции меняет знак с «+» на «-», следовательно в точке х = ¾ максимум.

В точке х = 0 производная функции знака не меняет, следовательно в точке х = 0 функция экстремума не имеет.

5) f_max ﴾¾) = (¾)³ – (¾)⁴ = 27/256

Применение производной к построению графика функции. Для построения графика функции нужно: область определения функции- D(f) исследовать на четность или нечетность исследовать на периодичность найти точки пересечения графика с осями координат найти промежутки возрастания и убывания найти точки экстремума и значение функции в этих точках построить график функции и найти дополнительные точки. Пример: f(x)=-x3+3x-2 1. D(f)=R 2. f(-x) = -(-x)3+3(-x)-2 = x3-3x-2 - не является четной и нечетной 3. непериодическая 4. при х=0 , у = -2 (0;-2) 5. f `(x)=-3x2+3 -3x2+3=0 x2=1, x=±1 - + - -1 1 х Функция убывает на промежутках (-∞;-1] и [1;+ ∞), возрастает на промежутке [-1;1]. 6. хmin = -1, уmin = -(-1)3 + 3(-1) – 2 = 1-3 -2 = - 4 хmax = 1, уmax = -1 +3 -2 = 0 7 . График f(x)=-x3+3x-2 у -2 -1 0 1 2 х -2 -4 Дополнительные точки: х -2 0 2 у 0 -2 -4

Наибольшее и наименьшее значения функции

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

Если функция непрерывна и монотонна на отрезке [а; b], то свои наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка.

Если функция не монотонна на отрезке, свои наибольшее и наименьшее значения она может принимать на концах отрезка и в критических точках.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

1. Найти производную функции f `(x)

2. Найти критические точки, прировняв производную к нулю: f `(x)= 0

3. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку [а; b]

4. Найти значения функции на концах отрезка f(a), f(b)

5.Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример: f(x) = x⁴-8x²-9, [-3;1]

f `(x) = 4x³-16x

4x³-16x = 0

4x(x²-4) = 0

4x = 0 или x²-4 = 0

х = 0 x² = 4

x = ±2 и х = 0 – критические точки функции.

х = 2 – не принадлежит отрезку [-3;1].

Находим f(-3) =81 - 8·9 – 9 = 0

f (-2) =16 - 8·4 – 9 =-25

f (1) =1 – 8 – 9 =-16

f (0) = -9

f_наиб.(-3) =0, f_наим. (-2) = -25