12. Первообразная функция. Правила нахождения первообразных.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство. F`(x) = f(x)

* Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных для функции f(x) задается формулой F(x)+С, где F(x) –одна из первообразных, С- const. Множество всех первообразных функций f(x) называется – неопределенным интегралом функции f(x)

∫f(x)dx=F(x)+С

Таблица первообразных

f(x)	F(x)
0	c
1	x
x	х2/2
1/x2	-1/x
1/(2√x)	√x
sin x	-cos x
cos x	sin x
1/sin2x	-ctg x
1/cos2x	tg x
xn	xn+1/n+1 n≠-1

13. Неопределенный интеграл и его свойства.

Множество всех первообразных функции f(x) – называется неопределенным интегралом

функции f(x)

∫f(x)dx = F(x)+c

Действие нахождения множества первообразных функции называется – интегрированием этой функции.

Основные свойства.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx

2. Интеграл от суммы функции равен сумме интегралов:

∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dх

Пример: ∫(x²+x³)dx = ∫x²dx + ∫x³dx = x³/3 + x⁴/4 + С

3. ∫f(kx+b)=1/k·F(kx+b)+С

14. Криволинейная трапеция. Площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим функцию y=f(x) на отрезке [a;b], не меняющую знака на этом отрезке:

Фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) , прямыми х=а, х=b и осью ОХ (абсцисс) называется криволинейной трапецией. Если функция не отрицательная то площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S = F(b) - F(a), где F(x)-первообразная f(x), f(x)≥0

Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл.

Рассмотрим функцию у = f(x), хЄ[a;b]. Она непрерывна и неотрицательна. Разобьем [a;b] на n-равных частей: a=x_o, x₁=…, x_n=b и построим прямоугольник со сторонами: x = x_k - x_k-1 и f(x_k-1)

x = (b-a)/n

Площадь каждого прямоугольника равна: x=f(x_k-1) = (b-а)/n·f(x_k-1)

S_n (площадь ступенчатой фигуры) = (b-а)/n ·(f(x_o)+f(x₁)+…f(х_n-1))

Если n стремится к бесконечности (n ∞) S_n S_{крив трап}

Для любой непрерывной функции на отрезке [a;b] , S_n стремится к некоторому числу при n ∞. Это число называется интегралом функции f(x) от a до b.

a=x_o х₁ х₂ х_n=b x

- формула Ньютона-Лейбница

F(x) - первообразная f(x)

S_{кр тр} =

Геометрический смысл определенного интеграла :

определенный интеграл от функции f(х) на отрезке [a;b] равен площади соответствующий криволинейной трапеции.