4.3.2 Понятие о теории подобия

В исследовании теплообмена, как и в других науках, не все явления можно выразить аналитически, т.к. в большинстве случаев система дифференциальных уравнений, описывающая явление, включает неинтегрируемые дифференциальные уравнения. В этом случае большое значение приобретает эксперимент. Однако при экспериментах возникает необходимость создать модели для того, чтобы удешевить постановку опыта, упростить экспериментальную установку.

Исследование явлений на моделях называется моделированием. Научной базой метода моделирования является теория подобия в сочетании с методами теории размерностей.

Основной задачей моделирования является определение условий, обеспечивающих подобие явлений. Теория подобия указывает, как нужно провести эксперимент на модели, чтобы полученные в нем результаты можно было использовать при расчетах явлений, родственных изучаемому на натуре. Таким образом, теория подобия, по существу, является теорией организации и проведения эксперимента.

В основе теории подобия лежит понятие о подобных явлениях.

Различают геометрическое и физическое подобие. Обязательной предпосылкой подобия физических величин является геометрическое подобие.

Геометрическое подобие – это подобие геометрических фигур. Суть геометрического подобия заключается в том, что в геометрически подобных фигурах соответствующие углы равны и сходственные стороны пропорциональны (рис.4.13).

Б

а) натура Б б) модель

А С А С

Рис. 4.13 - Подобные фигуры

Иными словами, геометрическое подобие наблюдается между 2-мя фигурами: натура (АВС) и модель (А B С), где линейные размеры и , площади S_н и S_м и объемы W_н и W_м находятся в соотношениях

; ; (4.27)

где - линейный масштаб моделирования; значки «н» и «м» означают «натура» и «модель».

Физическое подобие – это подобие физических явлений. Например, подобие движения потока жидкости, подобие тепловых процессов и т.д.

В физически подобных явлениях однородные величины, имеющие одинаковый физический смысл и размерность, характеризующее явление, подобны. Они сопоставляются в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени.

Сходственными точками пространства называются такие точки, координаты которых связаны отношениями геометрического подобия (4.27), а сходственными моментами времени называются такие моменты, которые имеют общее начало отчета и связаны условиями временного подобия.

В основе теории подобия лежат три теоремы.

1-я теорема подобия.

Подобные явления имеют одинаковые по величине критерия подобия. Таким образом, первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет вывести уравнения для критериев подобия. Теорема указывает, что при выполнении опытов необходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят в критерии подобия изучаемого явления.

Эта теорема была высказана еще И.Ньютоном в 1686г.

2-я – теорема подобия.

Любая зависимость между переменными, характеризующими явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия.

Эта теорема утверждает, что операция интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих явление, не изменяет вида критериев подобия. Например, уравнение скорости частицы жидкости v=dt/d и уравнение после интегрирования, если за период времени  скорость сохраняет свое значение, дают возможность получить один и тот же критерий гомохронности (Н₀)

3-я теорема подобия. Необходимым и достаточным условием физического подобия является подобие условий однозначности при равенстве критериев, составленных из условий однозначности. Условиями однозначности являются:

• геометрическое подобие систем;

• одинаковость дифференциальных уравнений, описывающих данное явление.

• существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях;

• известность численных значений коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение.

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления.

Теория подобия дает общие методологические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, устанавливает пути для правильной постановки опыта и дает указания по обработке полученных результатов.

Критериев подобия очень много и их можно получить для любого явления. Например:

а) Критерии подобия движения жидкости (газа) – критерий Эйлера, Е_u.

Запишем для двух подобных явлений уравнение движения газа в форме Эйлера:

; (4.28)

(4.29)

Выразим параметры первого явления через параметры второго. В этом случае

; ; ; .

С учетом того, что коэффициенты подобия , , , и являются постоянными величинами, можно записать, подставив параметры (4.28) в выражение (4.29)

. (4.30)

Из условия (4.29) следует, что для выполнения (4.30) необходимо, чтобы

, (4.31)

откуда

(4.32)

или (4.33)

Очевидно, что на основе выражения (4.32) можно сделать вывод о том, что в двух подобных явлениях комплекс параметров , один и тот же, что соответствует выражению (4.33).(«idem» - означает одно и то же).

Подобные безразмерные комплексы называют критериями подобия. Их называют, как правило, именами выдающихся ученых. Так, критерий - критерий Эйлера. Он характеризует соотношение между силами инерции и давлением газа.

Гидродинамические условия движения потока, соотношение сил инерции и сил трения характеризуются критерием Рейнольдса вида

,

где - коэффициент динамической вязкости, ;

- скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости, .

б) Критерии теплового подобия

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков.

В технике широкое распространение получил метод теплового подобия. Благодаря применению этого метода расчет теплообмена в некоторых конкретных условиях значительно упрощается в связи с возможностью использовать для расчета экспериментальных зависимостей, полученных в других условиях. Для этого необходимо соблюдать равенство соответствующих критериев в данных условиях и в условиях эксперимента.

Конвективный теплообмен характеризуется пятью критериями подобия:

1. Критерий Нуссельта Nu

(4.33)

где - характерный линейный размер;

- коэффициент теплоотдачи;

- теплопроводность теплоносителя.

Критерий Нуссельта представляет собой безразмерный критерий теплоотдачи, характеризующий условия теплообмена на границе между стенкой и газом, т.е. характеризует интенсивность теплообмена.

2. Критерий Рейнольдса Re

; (4.34)

характеризует соотношение, сил инерции и сил вязкости в потоке (или сил трения)

3. Критерий Пекле Pe

? (4.35)

где - скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости;

- характерный размер;

– физический параметр или коэффициент температуропроводности, который характеризует скорость изменения температуры.

,

где с_p - удельная изобарная теплоемкость теплоносителя;

Если в критерий Пекле вместо коэффициента подставить его значение и помножить числитель и знаменатель на избыточную температуру , т.е

, (4.36)

числитель критерия - характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель - теплоту, переносимую теплопроводностью. Таким образом, чем больше величина критерия Pе, тем большая доля тепла, переносимая в теплоносителе за счет конвекции по сравнению с долей тепла, переносимой теплопроводностью.

4. Критерий Прандтля P_r

; или (4.37)

Критерий Прандтля характеризует физические свойства теплоносителя.

Для жидкостей критерий P_r сильно зависит от температуры (Pr=1...2500).

Для газов критерий Pr не зависит от температуры (P=0,67...1,0).

5. Критерий Фурье (F₀)

(4.38)

где - время;

- характерный параметр (например, толщина стенки );

Критерий Фурье характеризует подобие конвективного теплообмена при нестационарных процессах (в него входит время ).

С учетом выше изложенных теорем подобия, рассмотрим исследуемое явление, которое характеризуется n – критериями подобия, полученными из уравнения, описывающее явление и условия однозначности: К_1, К_2, К₃ ...К_n.

Если в критерий К₁ входит интересующий нас параметр, то согласно 2 - ой теоремы подобия можно записать

/ (4.39)

Такое уравнение называют критериальным.

В явном виде критериальное уравнение записывается в виде произведения критериев в некоторой степени.

(4.40)

где А – коэффициент пропорциональности;

a, b... m – показатели степени, определяемые опытным путем.

Так для расчета конвективного теплообмена используется зависимость вида

.

Наиболее распространенной формулой, справедливой для конвективного теплообмена при течении жидкости (газа) с невысокой скоростью по каналу любого поперечного сечения, является формула академика М.А. Михеева, полученная на основе отработки большого числа опытов, которая имеет следующий вид:

. (4.41)

Так температура поперек пограничного слоя изменяется от температуры в ядре потока t_я до температуры его у стенки t_f , а физические параметры входящие в критерии подобия, являются функцией температуры, то для правильного использования формулы (4.41) всегда необходимо указывать, при какой температуре должны определяться критерии подобия. В данной формуле каждый критерий подобия снабжен индексом f.

Коэффициент называется коэффициентом неизотермичности и определяется следующим выражением

, (4.42)

где - число Прандтля для жидкости (газа), вычисленное при температуре ядра потока;

Рr_ст - то же число, но вычисленное при температуре стенки.

Наличие этого коэффициента в формуле (4.41) объясняется следующим обстоятельством. Как показывает опыт, при одинаковых условиях теплообмена между стенкой и газом и при одной и той же разности температур t_f - t_ст(или t_ст - t_f) величина теплового потока будет различна в зависимости от его направления: от жидкости в стенку и наоборот.

Без коэффициента формула (4.41) дала бы для коэффициента теплоотдачи один и тот же результат, что не согласуется с опытом.

Для капельных жидкостей формула (4.41) справедлива только при отсутствии кипения жидкостей.

В развернутой формуле выражение (4.41) примет вид:

. (4.43)

Определяющим геометрическим параметром, характеризующим геометрическое подобие явлений, в данной формуле служит эквивалентный диаметр d_э Он определяется по формуле

, (4.44)

где F – площадь поперечного сечения канала;

П – смоченный периметр.

Для трубы диаметр d_э равен диаметру трубы; для кольцевой щели - (рис. 4.11).

Выражения (4.41) и (4.43) используются для расчета каналов всевозможных форм при критерии Рейнольдса от 10⁴ до 5·10⁶ и P_r =0,6 ... 2500 как для случая нагрева, так и для случая охлаждения жидкости (газа). Для газов =1 и формула (4.41) примет следующий простой вид

(4.45)

Однако эта формула непригодна для расчета при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях потока газа.

Расчетное выражение (4.41) или (4.43) справедливо для длинных труб, у которых отношение длины к диаметру . Для коротких труб значение коэффициента , полученное по формуле (4.41), необходимо умножить на поправочный коэффициент , который берется из таблицы 4.11.

Для расчета коэффициента от газов к стенке в случае больших дозвуковых скоростей газов также применяется формула Илюхина Н.А. и Гухмана А.А.

(4.46)

где - температура торможения в газовом потоке;

« » - характеристики газа у поверхности стенки за исключением плотности газов при термодинамической температуре газа.

4.4 Лучистый теплообмен

4.4.1 Законы теплового излучения

Тепловое излучение представляет собой вид электромагнитного излучения с длиной волны 0,8 мкм до 0,8 мм

Для лучистых потоков можно записать

Е= ,

где Е – плотность потока излучения, Вт/м² (или излучательная способность тела)

Q – поток теплового излучения, Вт;

F – площадь поверхности излучения, м².

В соответствии с законом сохранения энергии, как показано на рисунке 4.6 тепловой поток распределяется

Q₀=Q_A+Q_R+Q_D,

или 1=A+R+D.

где А=Q_A/Q_o - (коэффициент поглощения) поглощательная способность тел;

R=Q_R/Q_o – (коэффициент отращения) отражательная способность тела;

D=Q_D/Q_o – (коэффициент проницаемости) пропускательная способность тела.

Если А=1, то тело называется абсолютно черным (АЧТ);

Если R=1, то тело называется абсолютно белым;

Если D=1, то тело называется абсолютно прозрачным.

У сажи ламповой А=0,945; у серебра полированного R=0,98; у одноатомных газов D=0,98…0,99.

Рассмотрим основные законы излучения.

Связь между излучательной (Е) и поглощательной способностью тела (А) устанавливается законом Кирхгофа.

Этот закон утверждает, что отношение лучеиспускательной способности к поглощательной для всех тел одинаково и зависит только от температуры

=f(Т)

Если отнести это уравнение к абсолютно черному телу (которое будем отмечать индексом 0), то в связи с А₀=1 получится

Таким образом, эта универсальная функция есть не что иное, как лучеиспускательная способность АЧТ.

Соответственно этому закон Кирхгофа будет изложен так: для любого тела отношение его лучеиспускательной способности к поглощательной способности равно лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре

или

Твердым телам, жидкостям и газам свойственны многие характерные отличительные особенности. Для техники представляет интерес в основном излучение твердых тел и газов.

Полное количество энергии, излучаемое абсолютно черным телом в единицу времени с единицы поверхности вполне определяется его температурой. Но эта энергия определяется его температурой. Но эта энергия определенным образом распределяется по спектру (по длинам волн, начиная от =0 и кончая =. Характер распределения энергии по длинам волн устанавливается законом М. Планка.

Различные тела имеют различные значения Е и А. Зависимость между ними устанавливается законом Кирхгофа.

Р ассмотрим лучистые теплообмен между двумя параллельными

пластинами с неодинаковыми температурами, причем первая пластина является абсолютно черной с температурой Т_S, вторая – серой с температурой Т. Расстояние между пластинами значительно меньше их размеров, так что излучение каждой из них обязательно попадает на другую.

Вторая поверхность излучает на первую энергию Е. В свою очередь первая поверхность излучает на вторую энергию Е_S . Часть энергии Е_SА поглощается серой поверхностью, а остальная часть (1-А) Е_S, отражается на первую и ею поглощается полностью. При этих условиях серая поверхность получает энергию в количестве Е_SА, а расходует Е.

Следовательно, уравнение теплового баланса будет иметь вид

Q=E-E_SA.

При равенстве температур Т и Т_S тепловой поток Q будет равен нулю. Отсюда получаем

Е=Е_SA или

Так как вместо второго тела можно взять любое, то уравнение (4.48) справедливо для любых тел и является математическим выражением закона Кирхгофа.

, (4.49)

где  - длина волны;

Т – абсолютная температура нагрева тела;

С₁ – постоянная, равная 37410 Втм²;

С₂ – постоянная, равная 1,4410 мК.

е – основание натурального логарифма.

Видно, что: во-первых, максимумы кривых смещены в сторону уменьшения длины волны; во-вторых, с увеличением температуры нагрева интенсивность нагрева увеличивается. Длина волны _ms, отвечающая максимальному значению J_S, определяется законом смещения Вина:

_ms=

C увеличением температуры _ms уменьшается, что и следует из закона.

Пользуясь законом смещения Вина, можно измерять высокие температуры тел на расстоянии, например, расплавленных металлов, космических тел и др.

Закон Стефана – Больцмана был установлен опытным путем Стефаном и обоснован теоретически Больцманом.

Этот закон устанавливает взаимосвязь между плотностью потока излучения и температурой в виде

,

где - константа излучения АЧТ, равная 5,710^-8 Вт/м²К⁴.

В технических расчетах закон Стефана-Больцмана принимает вид:

,

где С₀ – коэффициент излучения АЧТ;

Вт/(м²К⁴)

Проведенные зависимости справедливы для АЧТ. Для реальных (серых) тел используется зависимость

Е₀= ,

где с – коэффициент излучения серого тела, с=с₀, где  - спектральная степень черноты = зависит от физических свойств тела. Определяется по столбцам с табл. 4.

Под серым излучением понимают такое излучение, которое аналогично излучению черного тела имеет сплошной спектр, но интенсивность лучей для каждой длины волны J_, при любой температуре составляет неизменную долю от интенсивности излучения черного тела.