2.5.1Пример 2.5. Движение центра масс в однородном поле

В однородном постоянном электрическом поле с напряженностью движутся две заряженные точки. Их массы и заряды соответственно равны и . Найти положение центра масс как функцию времени, если начальные значения и известны.Направляя ось вдоль вектора и учитывая, что внутренние силы электростатического взаимодействия подчинены третьему закону Ньютона, получим уравнение (2.103) в проекциях на декартовы оси

, ,

Интегрируя эту систему, найдем

Сопоставляя это решение с решением задачи о движении одного заряда (см. с. 51), мы видим, что воображаемая точка -центр масс двух зарядов - движется как материальная точка с массой и зарядом . Что касается движения каждого из зарядов, то без решения системы уравнений (1.59) найти закон такого движения нельзя. (конец задания 11 Кондратенко, стр. 99)

2.5.2Пример 2.6. Движение центра масс в неоднородном поле (начало задания 12 Голубь, стр. 99)

Движение центра масс в неоднородном поле. Две точки с массами и движутся в силовом поле

(здесь k>0, а – радиус-вектор точки пространства в инерциальной системе отсчета с началом в центре силы). Найти положение центра масс системы как функцию времени в двух случаях: а) пренебрегая взаимодействием точек друг с другом; б) предполагая, что внутренними силами являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками с коэффициентом пропорциональности k. В обоих случаях движение центра масс определяется одним и тем же уравнением (2.102)

, (1)

где .Однако уравнения движения точек системы будут различными. В случае (а)

, (2)

а в случае (б)

, , (3)

Где

Перепишем системы (а) и (б) в удобном для интегрирования виде:

а) , ; (4)

б) , , (5)

где , . Решение этих систем в декартовых координатах не представляет затруднений. Найдем, например , решение системы уравнений, описывающих движение точек в направлении оси Ox:

а) , ; (6)

б) , . (7)

Решение системы (6) имеет вид

, , (8)

Где , ,

а ,и , и – произвольные постоянные, определяемые на-

начальными условиями. Учитывая (8), из уравнения (1) найдем

проекцию ускорения центра масс невзаимодействующих точек как

функцию времени

, (9)

а из определения центра масс и решения (8) легко получим

. (10)

Умножая правую и левую части второго из уравнений (7) на отношение / и затем один раз складывая, а второй раз вычитая результат умножения из первого уравнения системы (7), придем к уравнениям

, , (11)

где , .

Решением системы (11) являются функции

,

.

Отсюда, используя соотношения между , и , , находим

, .