2.5.3Пример 2.7. Движение тела переменной массы; задача Циолковского
В современной технике большое практическое значение имеет задача о движении тела переменной массы. Пусть изменение массы тела происходит за счет непрерывного отделения от тела некоторых его частей, причем за бесконечно малый элемент времени отделяется частица бесконечно малой массы. Однако скорость отделившейся частицы отличается от скорости тела на конечную величину. Найти уравнение движения тела (в предположении, что
тело и отделяющиеся частицы можно считать материальными точками). Отделение частиц от тела происходит за счет внутренних сил системы тело – частица. Следовательно, изменение импульса рассматриваемой системы подчинено закону (2.103). Подсчитаем это изменение. В момент времени t (до отделения частицы от тела) импульс системы равен
где m– масса тела в момент t, v – скорость тела в тот же момент времени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. В момент времени t+dt (после отделения частицы) импульс системы равен сумме импульса тела и импульса частицы:
,
где dv– изменение скорости
тела за время dt, dm
– уменьшение массы тела,^ соответственно
|dm|–масса отделившейся
частицы,
–скорость
этой частицы относительно инерциальной
системы отсчета. Следовательно, изменение
импульса системы с точностью до бесконечно
малых второго порядка равно
.
Подставляя это выражение в (2.103), получим уравнение движения точки с переменной массой, т. е. уравнение Мещерского
,
(1)
где u=
-
–
скорость отделяющихся частиц относительно
тела,
-
внешняя сила, действующая на тело, а
<0.
Нетрудно убедиться, что в случае
присоединяющихся к телу частиц (
)
справедливо то же уравнение (1). В качестве
примера на решение уравнения (1) рассмотрим
задачу Циолковского. Пусть ракета
движется в отсутствие внешнего поля,
скорость и отделяющихся частиц сгорающего
топлива постоянна и направлена
противоположно
–скорости
тела в начальный момент времени. Найти
скорость, которую п
приобретает тело за счет конечного изменения своей массы. Умножая правую и левую части уравнения (1) на dt и проектируя их на ось, направленную по вектору , получим
откуда находим, что
(2)
Таким образом, скорость, приобретаемая телом, зависит только от величины относительной скорости отделяющихся частиц и от изменения массы тела и не зависит от того, по какому закону изменялась масса тела.
2.6Законы изменния и сохранения кинетического момента системы
Умножая каждое из уравнений движения
(1.59) векторно слева на
-радиус-вектор
соответствующей точки и учитывая, что
,
получим уравнение, определяющее изменение
момента импульса i-той
точки.
,
(2,107)
где
– момент внутренней силы, действующей
на i-тую точку,
–
момент внешней силы, действующей на
i-тую точку. Суммируя
(2.107) по всем точкам, находим
Где
– кинетический момент системы, равный
сумме моментов импульсов всех точек
системы. Учтем далее, что силы взаимодействия
между каждой парой точек согласно
третьему закону Ньютона равны по
величине, противоположны по направлению
и расположены на прямой, соединяющей
взаимодействующие точки. Учитывая определение секторной скорости (1.11), последний интеграл можно представить в виде интеграла площадей
,
из которого следует сохранение суммы произведений масс точек на площади, описываемые за любые одинаковые интервалы времени проекциями радиусов векторов этих точек на плоскость Оху. на котором изображены проекции площадей, описываемых радиусами-векторами двух точек за интервал
времени
если для системы двух точек
,
то сумма произведений масс точек на
соответствующие площади сохранится и
для любого другого интервала времени,
равного
.
Таким образом, момент замкнутой системы
не может изменяться под действием
внутренних сил, поскольку они подчинены
третьему закону Ньютона. Однако ориентация
такой системы под действием
внутренних сил может изменяться. Действительно, под воздействием внутренних сил может произойти перемещение некоторых точек системы и изменение их скоростей. При этом другие точки системы также переместятся и изменят скорости, т. е. произойдет переориентация системы. Вместе с тем момент всей системы останется неизменным. В случае незамкнутых систем внутренние силы, вообще говоря, могут влиять на изменение кинетического момента, если сумма моментов внешних сил зависит от положений и скоростей точек системы.
Сохранение суммы произведений масс точек на площади, описываемые за любые одинаковые интервалы
времени проекциями радиус-векторов этих точек на плоскость Оху