Непрерывность сложной функции
Т. |
Пусть функция u(x) – непрерывна в т. и ее окрестности. Пусть при этих значениях u(x) функция y=y(u) тоже непрерывна. Тогда сложная функция y=y[u(x)] непрерывна в т. . |
Proоf:
Так как функция
u(x)
– непрерывна
в т. x0,
то
.
Т.к. функция y=y(u)
– непрерывная
при этих значениях
u,
то
.
Таким образом, мы получили
или
,
ч.т.д.
Note |
Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Для непрерывных функций знак предела и функции можно менять местами, т.е.
|
.
Ex.1.
.
Def. |
Функция y=f(x)
называется равномерно
непрерывной на
множестве X
, если для любых
|
,
.Разрывы. Классификация разрывов
Def.1. |
Функция y=f(x) называется разрывной в т. x0, если она не является непрерывной в этой точке. |
Пусть
левосторонний
предел функции в т. x0,
правосторонний
предел функции в т. x0.
Def.2. |
Функция y=f(x)
имеет в т. x0
разрыв
1-го рода,
если
|
,
или
,
или
,
причем,
разность k2-k1=w
– называют скачком функции в т. x0,
если k1=k2,
то разрыв называют устранимым.
Def.3. |
Функция y=f(x)
имеет в т. x0
разрыв
2-го рода,
если
|
,
или
,
или
Ex.1. Исследовать функцию на непрерывность
Т.к. все элементарные функции непрерывны в своей области определения, то остается исследовать в т. x=-1 и в т. x=0.
Построим схематически график этой функции.
Пусть x= -1.
Тогда
Т.к.
,
то в т. x
= -1 разрыв
1-го рода.
Причем, скачок функции w=k2
– k1
=3-1=2 =>
w=2.
Пусть x= 0.
Тогда
Т.к.
,
то в т. x
= 0 разрыв
2-го рода.
Теоремы о непрерывных функциях на отрезке
Т.1. |
(Первая теорема Больцано-Коши1 ). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b].
Пусть
Тогда
т.
|
Т.о., если
,
то найдется такая точка
,
в которой график функции y=f(x)
пересекает ось 0X.
Т.2. |
(Вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b].
Пусть
Пусть
Тогда
т.
|
(например,
A<B).
.
Т.о., функция y=f(x) заполняет все значения от А до B сплошь.
Т.3. |
(Первая теорема Вейерштрасса1). Пусть
функция y=f(x)
определена
и непрерывна на отрезке [a;b],
тогда она
ограничена
на нем, т.е.
|
на [a;b].
Т.4. |
(Вторая теорема Вейерштрасса).
Пусть функция
y=f(x)
определена
и непрерывна на отрезке [a;b].
Тогда она
достигает
на этом отрезке точной верхней М и
нижней m
грани, т.е. .
|
:
,
.
Т.5. |
(Теорема Кантора2). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем. |