3.7. Парабола. Вывод канонического уравнения. Виды парабол

Def.	Параболой называют геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой, называемой директрисой.

Пусть r – расстояние от точки параболы до фокуса;

d – расстояние от точки параболы до директрисы.

Тогда, по определению, уравнение параболы

.

Получим уравнение параболы, расположенной в плоскости с д.п.с.к. X0Y.

Пусть фокус F принадлежит оси 0X. Директрису проведем перпендикулярно оси 0Х на расстоянии p от фокуса F. Пусть начало координат т.0 – является серединой этого расстояния.

Пусть т. M(x;y) – «текущая» точка параболы.

Пусть r – расстояние от т. M(x;y) до фокуса ;

d – расстояние от т. M(x;y) до директрисы .

По определению параболы .

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF MN:

.

Расстояние от т. M(x;y) до директрисы

.

Таким образом, .

Возведя обе части в квадрат, получим

.

Откуда – каноническое (простейшее) уравнение параболы.

Note 1

Дома или на п/з доказать, что парабола – кривая второго порядка.

Так как по определению расстояние , то из уравнения параболы следует, что .

Так как в уравнении параболы ордината «текущей» точки M(x;y) y входит во второй степени, то парабола симметрична относительно оси 0Х. При этом верхнюю и нижнюю части кривой называют ветвями параболы, а начало координат т. О(0;0) – ее вершиной.

Note 2

Дома или на п/з обосновать различные виды парабол:

1			Парабола симметричная оси 0Y, .
2			Парабола симметричная оси 0Y, .
3			Парабола симметричная оси 0X, .

Note 3

Дома или на п/з доказать, что , т.е. для параболы.

Note 4

Дома или на п/з (с помощью параллельного переноса системы координат на a по оси 0Х и на b по оси 0Y) доказать, что – уравнение параболы с вершиной в т.С(a;b).

Note 5

Таким образом, основной характеристикой кривой второго порядка является ее эксцентриситет , т.е. если – окружность, – парабола, – гипербола, – эллипс.

3.8. Кривые второго порядка в полярной системе координат

Пусть на плоскости задана д.п.с.к. X0Y и п.с.к. с полюсом 0 в т.O(0;0) и полярной осью OP, совпадающей с осью 0X.

Пусть кривые второго порядка расположены так, что полюс 0 совпадает:

– c фокусом F для параболы;

– с левым фокусом F₁ для эллипса;

– с правым фокусом F₂ для гиперболы.

Note	Напомним, что основной характеристикой кривой второго порядка является ее эксцентриситет .

Приведем вывод формулы кривой второго порядка, например, для параболы.

Пусть: M(x;y) – «текущая» точка параболы;

|FM| =r – фокальный радиус;

|FB| = p – параметр, (p>0);

d – расстояние от т. М до директрисы;

B(0;p) – точка параболы.

Тогда .

Для точки параболы , где А – основание перпендикуляра, опущенного из т. В на директрису параболы.

Учитывая, что получим но так как окончательно , или , , откуда

– уравнение кривой второго порядка в п.с.к.

Напомним, что если

– окружность,

– парабола,

– гипербола,

– эллипс.