Свойства векторного произведения
Антикоммутативность:
.
Коллинеарность:
,
если
,
.
Ассоциативность:
,
где α
– любое число.
Вычисление:
.
Note |
Дома или на п/з
доказать свойства 1 – 4, учитывая, что
|
,
,
…,
,
,
…
Приложения к задачам механики и геометрии
Работа А силы
по направлению (перемещению)
:
.
Площадь треугольника, построенного на векторах и :
.
Площадь
,
если M1(x1,y1,z1),
M2(x2,y2,z2),
M3(x3,y3,z3):
.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах , и ,
,
причем, это произведение называют смешанным (или векторно-скалярным).
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Уравнение линии
Пусть каждому элементу x множества D по правилу (зависимости) f поставлен в соответствие элемент y множества E, то говорят, что на множестве D задан оператор f.
Если множества D и E – числовые, то говорят, что задана числовая функция y=f(x), причем множество D называется областью определения функции (О.О.Ф.), а множество Е называют областью значений функции (О.З.Ф.).
|
или
|
.
Пусть задана числовая функция y=f(x). Тогда на плоскости с д.п.с.к. X0Y она определяет множество точек M(x;y), где x – абсцисса, а y – ордината.
Обычно это множество на плоскости описывает некоторую линию (кривую). Мы будем рассматривать плоские, простые, спрямляемые кривые L.
Плоская – все точки кривой принадлежат плоскости.
Простая – отсутствуют точки взаимного пересечения.
Спрямляемая – длина линии равна пределу суммы длин звеньев вписанной ломаной при стремлении длины наибольшего звена к нулю.
3.2. Различные виды прямой
Note 1 |
В математике понятие «точка», «прямая», «плоскость» – является первичным и через более простое понятие не определяется. |
– уравнение
прямой с
угловым коэффициентом;
– уравнение
прямой, проходящей
через две точки;
– уравнение пучка
прямых;
– уравнение
прямой в
отрезках;
– общее уравнение
прямой;
– нормальное
уравнение
прямой.
Proof :
1. .
Пусть на плоскости
задана д.п.с.к. X0Y.
Пусть L
– прямая, проходящая под углом α
к оси 0Х и
отсекающая отрезок b
на оси 0Y.
Пусть tgα=k.
Пусть т.
.
Из прямоугольного
треугольника ΔAMN
учитывая, что
получим
или
ч. т. д.
2. .
Пусть прямая L
принадлежит плоскости с д.п.с.к. X0Y.
Пусть две «фиксированные» точки
и
принадлежат
прямой L.
Пусть т.
– ее «текущая» точка.
Из подобия
~
~
следует, что
, ч. т. д.
3. .
Пусть прямая L
принадлежит плоскости с д.п.с.к. X0Y.
Пусть «фиксированная» т.
и «текущая» т.
принадлежат прямой L.
Пусть α
– угол между прямой L
и осью 0Х.
Из прямоугольного
треугольника ΔM0MN
или
.
Если угловой коэффициент k
считать переменной
величиной,
то получим бесконечное
множество прямых,
проходящих через
т. М0 .
4.
Пусть прямая L принадлежит плоскости с д.п.с.к. X0Y и отсекает отрезок а на оси 0Х и отрезок b на оси 0Y. Пусть координаты этих точек A(a;0), B(0;b).
Составим уравнение прямой, проходящей через т. А и т. В.
,
откуда
,
ч. т. д.
5. .
Пусть x, y – переменные величины; A, B, C – числа (const).
Докажем, что на плоскости с д.п.с.к. X0Y это уравнение описывает некоторую прямую L.
Действительно,
пусть
,
тогда
или, обозначая
получим
– уравнение прямой с угловым коэффициентом
(см. 1).
Пусть
– прямая параллельна оси 0Y.
Пусть
– прямая параллельна оси 0X.
Пусть
– уравнение оси 0Y.
Пусть
– уравнение оси 0X.
6. .
Пусть прямая L
принадлежит плоскости с д.п.с.к. X0Y.
Пусть
p
- расстояние
от начала координат до прямой L.
.
Пусть т. – «текущая» точка прямой L.
Пусть r – расстояние от начала координат до т. М.
П
усть
т.
и
тогда
.
Пусть угол между ON и осью 0Х равен α, а угол между OM и осью 0Х равен β.
Из прямоугольного треугольника ΔONM следует, что
,
или (применяя формулы тригонометрии)
.
Учитывая, что
,
получим
, ч. т. д.
Note 2 |
Дома или на п/з из каждого уравнения 1 – 6 получить остальные уравнения 1 – 6. |
3.3. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых. Деление отрезка в данном отношении
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 принадлежат плоскости с д.п.с.к. X0Y.
L1: y=kx1+b1, где k1=tgφ1 – угловой коэффициент;
L2: y=kx2+b2, где k2=tgφ2 – угловой коэффициент.
Очевидно, что
.
Тогда
Таким образом,
.
Note 1 |
Стрелка в числителе указывает, что кратчайший поворот от L1 к L2 осуществлен против часовой стрелки. |
Условие параллельности
,
если
.
Условие перпендикулярности
,
если
.