19 Динамическое программирование. Принцип Беллмана. Применение метода динамического программирования для решения задач трассировки соединений печатной платы.

20 Нелинейное математическое программирование, математическая формулировка задач нелинейного программирования. Классификация, область применения и сравнительная оценка методов.

Основными недостатками существующих методов решения задач нелинейного программирования является их локальность, т.е. с их помощью можно отыскать стационарную точку, но нельзя определить имеются ли в области допустимых решений другие стационарные точки с более оптимальными значениями целевой функции F(Х).

1)Градиентные методы, в основе которых лежит свойство градиента функции в точке (вектора частных производных, вычисленного в точке) как указателя направления наибольшего роста функции в окрестности точки. Нет гарантии нахождения глобального экстремума. Градиентные методы для задач с ограничениями, где при смещениях по градиенту приходится сталкиваться с опасностью "выскочить" за пределы допустимого множества решений, существенно усложняются.

2)Методы Монте-Карло. Здесь отыскивается n - мерный параллелепипед, включающий в себя множество планов, и затем моделируются N случайных точек с равномерным законом распределения в параллелепипеде. В точках, попавших во множество планов, вычисляются значения функции и запоминается точка текущего экстремума. После этого берется параллелепипед меньших размеров с центром в найденной точке, и в нем вновь моделируются N случайных точек. Процесс такого стохастического моделирования заканчивается при малых размерах параллелепипеда. Методы Монте-Карло имеют преимущество над моделированием на детерминированной сетке, так как их точность имеет порядок 1/  и не зависит от размерности задачи. Методы просты для программной реализации и обычно используются при поиске начального приближения для градиентных методов.

3) Методы динамического программирования, сводящие многомерную задачу оптимизации к последовательности задач меньшей размерности.

4) Методы выпуклого программирования, реализующие поиск минимума выпуклой функции или максимума вогнутой на выпуклом множестве планов.

21 Методы одномерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода золотого сечения.

Данный метод позволяет найти минимум функции на

заданной области [a₀,b₀]

22 Методы одномерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода парабол

Этот метод применяется, когда сделано несколько шагов более грубыми методами, то есть отрезок локализации точки минимума достаточно мал.

Итак, найти  с точностью  .

Выбираем  .

Через точки  проводим параболу

Находим вершину параболы   

.

 

Если  , то необходимо выяснить   или нет.

Если   , то по трем точкам  строится следующая парабола.

Если  , то следующая парабола строится по точкам:

В случае, если   соответствующим образом подбирается очередная тройка чисел, через которые проводится парабола.

Каждая новая вершина параболы принимается за очередное приближенное решение.

23 Методы многомерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода покоординатного спуска (метод Гаусса Зейделя)

24 Методы многомерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода наискорейшего спуска и метода градиентов.

25 Методы многомерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода сопряженных градиентов.

26 Методы многомерной нелинейной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода проецирования градиента и штрафных функций.

27 Методы нелинейной многомерной оптимизации. Математическая формулировка и особенности метода Монте Карло.

Рассмотрим многомерную задачу глобальной условной оптимизации

1. Задаем общее количество испытаний   и полагаем счетчик числа итераций  .

2. С помощью какого-либо программного генератора случайных чисел генерируем   компонент вектора  . .

3. Вычисляем   и полагаем  , .

4. Аналогично п.2 генерируем случайную точку  . Вычисляем соответствующее значение критерия оптимальности  = .

5. Выполняем следующие присваивания:

6. Если   полагаем   и переходим на п.4, иначе принимаем   в качестве приближенного решения задачи и заканчиваем вычисления

Чтобы найти решение задачи с высокой точностью требуется очень большое количество испытаний N, поэтому метод Монте-Карло обычно комбинируют с каким-либо детерминированным методом локальной оптимизации.

28 Математическое моделирование конструкций и процессов в РЭС на микро и макро уровнях. Способы перехода от микро к макро моделированию. Пример задачи моделирования процессов в оптронах, приводящий к решению интегрального уравнения Фредмгольма 1-го рода

На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных — уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п.

К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давление, температура, концентрации частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты.

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, температуры, расходы и т. д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в электронных схемах или механических конструкциях.

29 Моделирование процессов РЭС дифференциальными и интегральными уравнениями. Понятие прямой и обратной задачи конструирования. Классификация и область применения дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Классификация и область применения интегральных уравнений.

Для решения практических задач теории поля разработаны методы искусственных аналогий. 2 системы называют аналогичными, если имеется однозначное соответствие между каждым элементом систем, а также между функциями возмущения и реакциями элементов и всей системы в целом. Источником аналогии исследуемых систем являются закон сохранения энергии и закон непрерывности. Перевод этих законов на математический язык приводит к дифференциальным уравнениям, а так как эти законы применимы к электрическим, механическим, тепловым и другим системам, то соот-ие дифференциальные ур-я подобны по форме. Величины источников возмущений и реакции выражают через переменные, зависящие от времени и положения внутри поля. Переменные 1-го рода отличаются в различных точках пространства или цепи (разность потенциалов, разность концентраций примесей в п/п и т.д.). Переменные 2-го рода не изменяются внутри исследуемого элемента, имеют направление(ток, электр-й или магнит-й поток, силы в механике и т.д.)

Прямая задача – задана некоторая физическая система, которая описывается известным уравнением. На эту систему действуют определенные внутренние или внешние факторы. Требуется определить реакцию системы на эти факторы.

Обратная задача – известны реакции системы и требуется найти внешние и внутренние факторы которые привели бы эту систему к известому виду реакции.