2. Уравнение хилла

Уравнение Хилла (Дж.Хилл, 1886) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

(2.1)

где f(t) периодическая функция. Важными частными случаями уравнения Хилла являются уравнение Матье и уравнение Мейснера.

Уравнение Хилла очень важно для понимания устойчивости движения в осцилляторных системах. В зависимости от конкретной формы периодической функции f(t) решения могут иметь вид устойчивых квазипериодических колебаний, либо колебания будут раскачиваться с нарастающей экспоненциально амплитудой.

В физике ускорителей уравнение Хилла необычайно важно, поскольку описывает поперечную линейную динамику частиц в фокусирующих магнитных полях (бетатронные колебания). Хилл дал метод решения уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Это явилось толчком для создания теории таких определителей и далее для создания Э. Фредгольмом теории интегральных уравнений. Для уравнения Хилла ставятся, прежде всего, задачи устойчивости решений, существования или отсутствия периодичности решений.

2.1 Решения уравнения Хилла

Более точный, метод исследования устойчивости первой формы колебаний предполагает использование уравнения Хилла. Для этого запишем уравнение в вариациях таким образом:

(2.2)

Решения, соответствующие границам устойчивости, имеют период T и 2T, где T– период коэффициентов уравнения в вариациях. Эти решения будем искать в виде

(2.3)

Подставляя разложения поочередно в вариациях и группируя члены при различных гармониках, получаем системы однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений. Приравнивая определители этих систем нулю, получим уравнения для определения тех значений параметров системы, которые определяют границы областей устойчивости и неустойчивости связанной формы колебаний.

Устойчивость локализованной формы колебаний. Устойчивость второй формы колебаний исследовалась с использованием уравнения Хилла. Для этого использовалось следующее уравнение в вариациях:

(2.4)

где u и θ – вариации переменных ˜ x и ˜ θ соответственно. Решения, соответствующие границам устойчивости, будем искать в виде

(2.5)

Рисунок 2.1 – Границы областей устойчивости /неустойчивости локальной формы колебаний

Границы областей устойчивости и неустойчивости второй формы колебаний представлены на рис. 2.1. Заметим, что область неустойчивости этой формы колебаний, благоприятной для виброгашения основной линейной подсистемы, чрезвычайно узкая.

2.2 Сфера Хилла

Понятие данной сферы впервые было определено американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работ французского астронома Эдуарда Роша.

Сферой Хилла является пространство вокруг астрономического объекта (например, планеты) в котором он способен удерживать свой спутник, несмотря на притяжение объекта, вокруг которого обращается сам (например, звезды). В свою очередь, у спутника есть собственная сфера Хилла, и любой объект в её пределах будет стремиться стать спутником спутника, а не планеты. Таким образом, сфера Хилла описывает сферу гравитационного влияния тела на более мелкие тела с учётом пертурбаций, возникающих под воздействием более массивного тела.

При этом нахождение спутника в сфере Хилла какого-либо объекта не означает, что этот объект притягивает его сильнее, чем тот, вокруг которого он обращается сам. Например, Солнце притягивает Луну в 2,2 раза сильнее, чем Земля.

Сфера Хилла располагается между точками Лагранжа L1 и L2, лежащими на прямой, соединяющей центры двух тел. В этом направлении область гравитационного влияния подчинённого тела меньше всего, и это ограничивает размер сферы Хилла. За пределами этого расстояния орбита любого третьего тела, обращающегося вокруг подчинённого тела, будет частично пролегать за пределами сферы Хилла, и поэтому будет всё больше и больше подвергаться возмущению приливными силами центрального тела. В конечном итоге подчинённый объект перейдёт на орбиту центрального тела.