3. Уравнение матье

Функции Матье – математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матье. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнением Матье это дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

(3.1)

где a и q – параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

3.1 Диаграмма Айнса-Стретта

Решения уравнения Матье носят колебательный характер и главным образом зависят от конкретных значений параметров a и q. В одних случаях данной комбинации a и q соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других - колебания с возрастающими амплитудами. Основную практическую важность представляет именно тенденция колебательного процесса: если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива; в противном случае имеет место параметрический резонанс, и система неустойчива.

Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций a и q (эти решения получены при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих случаях параметр q системы одинаков (q = 0,1), колебания имеют совершенно разный характер из-за различия между значениями параметра a (a =1; a =1,2). В первом случае амплитуды возрастают, т.е. система неустойчива, а во втором случае остаются ограниченными, т.е. система устойчива.

Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот вопрос хорошо исследован, причем окончательные результаты представляются в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров a и q, которая называется диаграммой Айнса-Стретта.

Каждой данной системе, характеризуемой параметрами a и q, соответствует точка с координатами a, q на диаграмме Айнса-Стретта (изображающая точка). Если изображающая точка находится в пределах заштрихованных полей диаграммы, то система устойчива; неустойчивым системам соответствуют изображающие точки, расположенные на белых полях (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Диаграммы Айнса-Стретта

На рис.8 показана часть диаграммы Айнса-Стретта, относящаяся к малым значениям параметра q. В качестве примера на диаграмме указаны точки 1 и 2, соответствующие параметрам a₁ = 1; q₁ = 0,1; a₂ = 1,2; q₂ = 0,1 (решения уравнения Матье для этих случаев даны на рис.8).

Рисунок 3.2 - Диаграммы Айнса-Стретта при малых q

Точка 1 находится в белой зоне (неустойчивость), и колебания происходят с возрастающими амплитудами (рис. 3.1,а). Точка 2 находится в пределах заштрихованной зоны; ей отвечает движение с ограниченной амплитудой (рис. 3.1,б).

В плоскости параметров a, q области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содержит точку a = 1, q = 0. Диаграмма Айнса-Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т.е. найти значения параметров системы a и q, после чего диаграмма дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы.

При возрастании частоты возбуждения параметры a и q уменьшаются. Так как отношение этих параметров остается постоянным, то последовательные состояния системы определяются изображающими точками на луче  , проходящем через начало координат.