3.3 Анализ устойчивости форм колебаний

Анализ устойчивости форм колебаний проводится в упрощенной форме, с использованием приведения уравнения в вариациях к виду уравнения Матье. Поскольку траектория первой нормальной формы связанных колебаний близка к прямой, то, повернув систему координат, устойчивость этой формы будет определяться вариациями в ортогональном к данной траектории направлении (рис. 3.16). Используя поворот системы координат 0xθ на угол α, получаем систему уравнений в новых переменных x, θ:

(3.16)

первой формы колебаний, имеет вид

(3.17)

где x и v – вариации переменных ˜ x и ˜ θ соответственно. Уравнение после некоторых алгебраических преобразований примет вид известного уравнения Матье:

(3.18)

(3.19)

Рисунок 3.3 - Преобразование систем координат

Границы областей устойчивости и неустойчивости уравнения Матье хорошо известны.

Рисунок 3.4 – Границы областей Рисунок 3.5 – Траектория

устойчивости / неустойчивости ответвляющего движения

На рис. 3.4 представлены границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные с использованием уравнений Матье (светлая линия) и Хилла (темная линия). Можно заметить, что уравнение в вариациях в форме уравнения Матье пригодно только для довольно малых амплитуд колебаний. Во внутренней области наблюдаются неустойчивые движения. Потеря устойчивости первой формы влечет за собой переход к другим формам колебаний. При ветвлении появляется пара новых форм колебаний, которые также являются нелокальными. Траектории их в области неустойчивости первой формы колебаний – траектории ответвляющихся движений – изображены на рис. 3.5.

Заключение

Во многих случаях законы механики, управляющие теми или иными процессами, могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений второго порядка, а расчет этих процессов сводится к их решению. В частности, исследование динамических процессов источников света, а также изучение механизмов и узлов машин и агрегатов легкой и химической промышленности приводят к задаче исследования устойчивости и неустойчивости, колеблемости и неколеблемости решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом х + p(t)x = 0.

Практическая пригодность построение областей устойчивости Фурье, Хилла, определяется ее приемлемым качеством процесса управления (регулирования). На любую систему автоматического управления  действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушать ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.

В простейшем случае, понятие устойчивость системы связана со способностью ее возвращения к исходному состоянию после кратковременного внешнего воздействия. Если система неустойчивая, она не возвращается к состоянию равновесия, из которого по каким-то причинам вышла. Только устойчивая система автоматического управления может выполнять возложенные на нее функции. Поэтому одной из основных задач систем автоматического управления  является обеспечение ее устойчивости.

Устойчивость считается важнейшим и обязательным понятием, так как только в устойчивой системе могут быть удовлетворены необходимые требования к качеству.