§4. Просторова решітка кристалу

Більшість твердих тіл (металів, напівпровідників, діелектриків) мають кристалічну структуру, тобто являють собою сукупність великого числа атомів, що впорядковано розташовані у просторі. Під упорядкованим розташуванням атомів у просторі мається на увазі властивість просторової періодичності, чи трансляційної симетрії, яку мають кристали. Інакше кажучи, ми вважаємо, що існують три некомпланарні вектори a₁, a₂, a₃ такі, що при переміщенні всього кристалу як цілого на будь-який з цих векторів, атоми кожного сорту переходять у положення інших атомів того ж сорту. При такому виборі величин a_і вони називаються основними векторами чи трансляційними періодами кристалічної решітки. Паралелепіпед, що побудований на трьох векторах a_і, називається елементарною коміркою. Якщо основні вектори a_і вибрати так, що будь-яку з описаних трансляцій решітки можна зобразити як

, (4.1)

з цілими значеннями l_і, то елементарна комірка, яка побудована на a_і, називається примітивною. У виразі (4.1) для тривимірної решітки індекс і пробігає значення і = 1,2,3; для двовимірної – і = 1,2; для одновимірної – і = 1.

Вектори l (4.1) описують положення вузлів кристалічної решітки, в яких знаходяться атоми одного із сортів æ = 0, 1,...,r-1. Як правило, так нумерують сорти атомів, щоб у вузлах кристалічної решітки знаходились атоми сорту æ = 0. Якщо примітивна комірка містить один атом, то решітка називається простою, якщо більше одного атома, то складною. На рис.4.1 зображена двовимірна складна решітка з двома атомами на примітивну комірку. Атоми сорта æ = 0 позначені кружками, сорта æ = 1 – хрестиками.

Рис.4.1. Двовимірна складна решітка з двома атомами на примітивну комірку.

Прості тривимірні решітки називаються решітками Браве.

§5. Обернена решітка кристалу

Скалярний добуток двох векторів, що задані на ортогональному базисі, виражається, як відомо, через суму добутків їх проекцій. Оскільки в теорії твердого тіла зручно користуватись не ортогональним базисом a_і, то для надання скалярному добутку двох векторів, який часто застосовується в теорії, того ж вигляду, що і для ортогонального базису, вводять допоміжний базис b_і.

При цьому покладають, що у скалярному добутку векторів вектор, який стоїть справа, зображають на базисі кристалічної решітки a_і:

, (5.1)

а вектор, який стоїть зліва – на допоміжному базисі b_і:

. (5.2)

Якщо означити базисні вектори b_і умовою

, (5.3)

де – символи Кронекера, то скалярний добуток векторів набуває вигляду

, (5.4)

тобто такого ж вигляду, як і для ортогонального базису. Множник 2π у правій частині рівності (5.3) ставиться для зручності.

Вектори

(5.5)

з цілими координатами g_i називають векторами вузлів оберненої решітки, а вектори b_і – основними векторами оберненої решітки.

Для тривимірної решітки система рівнянь (5.3) має розв’язок:

, , , (5.6)

де

(5.7)

– об’єм примітивної комірки прямої решітки.

Паралелепіпед, що побудований на трьох основних векторах оберненої решітки b_і, називається основною коміркою оберненої решітки. Його об’єм

. (5.8)

Властивості оберненої решітки.

1. Вектор оберненої решітки g (5.5) перпендикулярний до сімейств площин прямої решітки з індексами Міллера (h₁, h₂, h₃), якщо координати вектора задовольняють умові:

, , , (5.9)

m – деякий спільний множник, що є цілим числом.

Для доведення розглянемо одну площину із сімейства (h₁, h₂, h₃). На рис. 5.1 показано точки перетину цієї площини з координатними вісями. Згідно означення індексів Міллера, координати цих точок дорівнюють (p/h₁, 0, 0), (0, p/h₂, 0), (0, 0, p/h₃), де множник p вибирається таким чином, щоб індекси Міллера (h₁, h₂, h₃) були цілими числами.

Рис.5.1. Площина сімейства площин (h₁, h₂, h₃).

Умовою перпендикулярності вектора g (5.5) до площини (h₁, h₂, h₃) є перпендикулярність вектора g до двох непаралельних векторів

, ,

що лежать в цій площині, тобто:

, (5.10)

.

Умови (5.10) виконуються, якщо виконується умова (5.9), що і треба було довести.

2. Модуль вектора оберненої решітки g (5.5) з координатами:

(5.11)

дорівнює:

, (5.12)

де d – найменша відстань між площинами сімейства (h₁, h₂, h₃).

Для доведення розглянемо

, (5.13)

де N – ціле число, l_g – проекція вектора прямої решітки l на напрям вектора оберненої решітки g.

Для векторів вузлів прямої решітки , що лежать на сусідній площині, можна записати

. (5.14)

Враховуючи, що найменша відстань між площинами дорівнює

(5.15)

і використовуючи (5.13), (5.14), одержимо (5.12).