2.Действия над матрицами Равенство матриц
Две матрицы A и B называют равными, (A=B), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны:
|
(1.2) |
Сложение матриц
Две матрицы
одинаковых размеров
и
можно складывать. Суммой
матриц A
и B
называют матрицу C
того же размера, элементы которой равны
сумме соответствующих элементов матриц
А
и В:
C=A+B,
|
(1.3) |
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
(переместительный
закон);
(сочетательный
закон);
.
Пример 1.1. Даны две матрицы А и В. Найти А+В.
|
|
|
|
Умножение матрицы на число
Любую матрицу А
можно умножить на число
.
Операция умножения
матрицы на число осуществляется
по правилу:
|
(1.4) |
Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
;
;
Пример 1.2. Даны две матрицы А и В. Найти -5А и 2А-В.
|
|
|
|
Произведение матриц
Произведением
матрицы
на матрицу
называется матрица
,
каждый элемент которой определяется
выражением:
|
(1.5) |
Из определения двух матриц видно, что перемножить можно лишь матрицы, у которых число столбцов первой матрицы сомножителя А равно числу строк второй матрицы сомножителя В.
Например, если
|
(1.6) |
||
|
|||
Из определения умножения матриц следует, что новый элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца. На рис. 1.1 схематично показано получение элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце в произведении матриц. |
|
|
|
и
, то
Рис
1. 1 Схема вычисления элемента
Пример 1.3.
Даны две матрицы А
и В.
Найти
и
ВА.
|
|
|
|
|
|
Эти примеры
показывают, что произведение двух
матриц, вообще говоря, не подчиняется
переместительному закону:
.
Определение 1.1. Матрицы А и В, для которых АВ=ВА, называются коммутативными.
Операция перемножения матриц обладает следующими свойствами:
(сочетательный
закон);
(распределительный
закон).
3. Сложение матриц
Две матрицы одинаковых размеров и можно складывать. Суммой матриц A и B называют матрицу C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:
C=A+B, |
(1.3) |
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
(переместительный закон);
(сочетательный закон);
.
Пример 1.1. Даны две матрицы А и В. Найти А+В.
|
|
|
|
4.Умножение матрицы на число
Любую матрицу А можно умножить на число . Операция умножения матрицы на число осуществляется по правилу:
|
(1.4) |
Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
;
;
Пример 1.2. Даны две матрицы А и В. Найти -5А и 2А-В.
|
|
|
|