16.Решение системы линейных уравнений матричным методом

Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

(5.2)

Через X — матрицу-столбец, составленную из неизвестных:

(5.3)

Через В — матрицу-столбец, составленную из свободных членов:

(5.4)

Произведение есть матрица-столбец:

(5.6)

Тогда система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

(5.7)

Если матрица А системы невырожденная, т. е. , то система уравнений (5.7) решается следующим образом:

• умножаем обе части уравнения на матрицу , обратную матрице А:

  (5.8)

• используя сочетательный закон умножения матриц, можно записать:

  (5.9)

• так как , а решение матричного уравнения получится в виде:

(5.10)

Пример 4.1. Решить матричным способом систему уравнений

В матричной форма эта система запишется в виде . Здесь

Матрица найдена в примере 4.1:

Решение системы записываем в виде:

Отсюда следует, что .

17.Формулы Крамера

Рассмотрим еще раз систему n уравнений с n неизвестными , для которой . Запишем матричное равенство (5.10) в следующем виде:

(5.11)

Или

(5.12)

Вспомним, что две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

(5.13)

Обратим внимание на то, что выражения в круглых скобках равенств (4.13) представляют собой определители, полученные из определителя системы заменой соответствующего номеру неизвестного столбца столбцом свободных членов данной системы уравнений (4.1). Обозначим их следующим образом:

	(5.14)
…

С учетом этих обозначений формулы (4.13) можно переписать в виде:

(5.15)

Пример 4.2. Решить систему уравнений методом Крамера

Ранее определитель системы

уже был вычислен (пример 4.1).

Вычислим определители неизвестных:

Используя формулы Крамера, найдем:

18.Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (18451918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать, перечислив все его элементы: (1.1) При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
	Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.2)

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

(1.3)

Пример 1.1. Даны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2. Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Частично эту проблему можно решить, если указывать условие, которому удовлетворяет любой элемент данного множества:

(1.4)

Пример 1.3. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Зачем?

Пример 1.4. Парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

(1.5)

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

	(1.6)
Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (18341923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество. Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.
		Джон Венн
Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества: