10. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин.

Мат.ожиданием дискретной с.в.(д.с.в.) наз. сумма произведений и ее возможных значений на их вер-ти.

Теорема(вероятностный смысл мат.ожидания)

М.О ≈ среднему арифметическому наблюдаемых значений с.в.

Равенство тем точнее, чем больше наблюдений

Х – д.с.в. Пусть х₁ наблюдалось m₁ раз, x_k – m_k.

n=m₁+…+m_k;

Далее на отрезке показать несколько точек, и отметить что мат. ожидание лежит ровно посередине отрезка..

Разность x–М(Х) наз. отклонением случайной величины

Св-ва М.О.

1) М(С)=С

2) М(СХ)=СМ(Х)

Определение. Две с.в. наз. независимыми (н.с.в.), если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Определение. Произведением двух н.с.в X и Y наз. с.в. ХY, возможные значение которой =произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; их вер-ти = произведениям вер-ти сомножителей.

3) M(XY)=M(X)*M(Y), если X,Y – н.с.в.

Док-во:

X	x1	xn		Y	y1	yn		XY	x1 y1	xn yn
р	p1	pn		p	q1	qn		p	p1 q1	pn qn

M(XY)=x₁y₁p₁q₁+ x₁y₂p₁q₂+ x₂y₁p₂q₁+x₂y₂p₂q₂=

=y₁q₁(x₁p₁+x₂p₂)=(x₁p₁+x₂p₂)(y₁q₁+y₂q₂)=M(X)*M(Y)

Определение. Суммой двух с.в. X и Y наз. с.в X+Y, возможные значения которой = суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; их вер-ти = произведениям вер-тей слагаемых, если X и Y – независимые и произведению вер-ти одного слагаемого на условную вер-ть другого, если X и Y зависимые.

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

5. M(C₁X₁+…+C_nX_n)=C₁M(X₁)+…+C_nM(X_n)

6. M(x-M(X))=0 | M(x-M(X))=M(X)-M(M(X))=0

7. М.О. числа появления события в первом испытании = вер-ти этого события

Х – число появления соб.А в первом испытании

x	0	1
p	1-р	р

8. М.О. числа появления события в n испытаниях = произведению n*p, где р – вер-ть появления события в каждом испытании.

M(X)=n*p

М.О непрерывной с.в. (н.с.в.)

Пусть Х – н.с.в., возможные значения в интервале (a;b) или (-∞;∞), f(x) – плотность распределения.

тогда

Св-ва М.О. для н.с.в те же ,что и для дискретных.

11. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретных и непрерывных случайных величин.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины наз. разброс случайной величины вокруг мат. ожидания.

Определение. Дисперсией сл. величины Х наз. мат. ожидание квадрата её отклонения.

D(X) = M[X – M(X)]²

если Х – дискретна то D(X) находится так:

если Х – непрерывна то D(X) находится так:

Размерность дисперсии:

Характеристика разброса – среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность что и Х и находится по формуле:

Теорема:

Док-во:

тогда дисперсию можно найти по формулам:

Свойства дисперсии:

1) D(C) = 0;

2) D(CX) = C²D(X)

3) D(X+Y)+D(X)+D(Y), X, Y независимые

4) D(C₁X₁+…+C_kX_k)=C₁²D(X₁)+…+C_k²D(X_k)

Следствие:

1) D(X–Y)=D(X)+D(Y)

2) D(C+X)=D(X)

5) Дисперсия числа появления события в 1 испытании равна произведению вероятностей появления и непоявления этого события. D(X)=pq;

6) Дисперсия числа в n-испытаниях D(X)=npq;