12. Начальные и центральные моменты распределения, асимметрия, эксцесс, мода, медиана.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х наз. мат. ожидание величины Х^k.

таким образом, для дискретных величин:

, а для непрерывных:

Центральным моментом порядка k случ. величины Х называют мат. ожидание величины:

в частности

μ₃ – характеристика асимметрии случ. величины

- коэффициент асимметрии

a_x=0 a_x<0

a_x>0

μ₄ – характеристика островершинности и плосковершинности

.

для нормального распределения с_х=0

Модой дискр. случ. величины наз. ее наиболее вероятное значение; модой непр. случ. величины наз. такое ее значение, при котором плотность распределения имеет максимальное значение.

Медиана непр. случ. величины наз. такое ее значение, относительно которого равновозможно что Х будет больше или меньше этого значения.

P(X<М_д)=P(X>М_д)=0,5

13. Равномерное и показательное распределения, функция надежности.

Определение. Непр. случ. величина Х имеет равномерное распределение на [a;b], если ее плотность распределения на этом отрезке постоянна, а вне ее = 0.

-далее построить график f(x)…

Найдем функцию распределения:

1) x≤a – F(x)=0; 3) x>b – F(x)=1;

Найдем числовые хар-ки:

П оказательным называют распределение вероятностей непр. случ. величины Х, которое описывается плотностью:

Функция распределения:

Числовые хар-ки:

Функция надежности

R(t)=P(T>t)=1-F(t), где T – непр. случ величина – время безотказной работы в течение времени t.

R(t)=e^-λt. Функцию надежности наз. показательным законом надежности, λ – интенсивность отказа.

14. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непр. случ. величины Х, плотность которого имеет вид:

Свойства:

1) f(x) определена для всех х

2) f(x)>0 для всех х

3) lim(x→±∞)f(x)=0, ОХ – асимптота

4) f`(x)=0; x_max=a y_max=1/[σ*sqrt(2π)]

1) Изменение параметра а не влияет на форму, только на положение кривой.

2) При увеличении σ кривая становится более пологой, и наоборот.

вероятность попадания в интервал, функция Лапласа

Св-ва Ф(х):

1) Ф(х) определена для всех х

2) Ф(0)=0; Ф(∞)=0,5

3) Ф(–х)= –Ф(х)

4) Для всех х>5, Ф(х)=0,5

функция распределения

вероятность заданного отклонения

правило трёх сигм

Если величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мат. ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

15. Понятие о предельных теоремах. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1, X2, … , Xn имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (ен превышают постоянного числа C), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т. е. если ε – любое положительное число, то

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же мат. ожидание а, сходится по вероятности к мат. ожиданию а, т. е. если ε – любое положительное число, то

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε - сколь угодно малое положительное число, то

Замечание:

т.Б. утверждает, что при n→∞ относительная частота стремится по вероятности к р.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

--Говорят, что к последовательности Х₁ , Х₂...Х_n применима центральная предельная теорема, если при любом х ф-ция распределения нормированной суммы при n→∞ стремится к нормальной ф-ции распределения