16. Предмет математической статистики и ее основные задачи. Основные понятия (выборка, объём выборки, варианты, статистический ряд, интервальный ряд).
Мат. статистика занимается сбором, описанием и анализом. Задачи:
1) Определение неизвестных законов распределения
2) Оценка неизвестных параметров распределения
3) Статистическая проверка гипотез.
Основные понятия:
Пусть требуется изучить некоторый признак относительно количества или качества.
Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) наз. совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью наз. совокупность объектов, из которых производится выборка. Число объектов в каждой совокупности наз. её объёмом.
x1,x2,…,xn – варианты
ni – частота варианты xi, pi* - относительная частота этой варианты.
Статистический ряд может быть:
1) Простой (таблица, вверху i, внизу xi)
2) Частот (вверху xi, внизу ni)
3) Относительных частот (вверху xi, внизу pi*)
Интервальный ряд отличается от не интервального тем, что в качестве вариант (xi) в нём используются интервалы, например, [xi;xi+1).
По теореме Бернулли, pi*→p, при условии что n→∞; Таким образом, распределение выборки, задаваемое стат. рядом относительных частот или интервальным стат. рядом относительных частот наз. эмпирическим (статистическим) распределением случайной величины х.
17. Эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.
Эмп. функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x;
F*(x)=nx/n, где nx – число вариант, меньших х, n – объём выборки.
Свойства:
1) F*(x) Є [0;1]
2) F*(x) – неубывающая
3) Если х1 – наименьшая варианта, а хк – наибольшая, то F*(x)=0 при x≤x1 и F*(x)=1 при x>xk.
По закону больших чисел т. Бернулли pi*→pi.
F*(x) является приближенным значением F(x)
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;n1)…(xk;nk), где xi- варианты выборки,
ni – соответствующие им частоты. Полигон относительных частот – то же самое, только вместо ni пишем pi. Не забыть нарисовать!!
Гистограммой частот наз. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/h. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот т. е. объёму выборки. Для гистограммы относительных частот вместо ni пишем pi (pi=ni/n), а её площадь равна единице. Не забыть нарисовать!!
18. Определение неизвестных параметров распределения (выборочная средняя, выборочная и исправленная выборочная дисперсии).
Несмещенной наз. точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Смещенной наз. точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя
Если первоначальные варианты xi большие числа, то для упрощения вычислений вводят условные варианты.
ui=xi – c, c – ложный нуль. с≈хв
Для хар-ки рассеяния применяется стат. дисперсия
Для нахождения дисперсии более удобна формула
При нахождении дисперсии также можно перейти к условным вариантам, при этом результат не изменится.
Если варианты – дроби с k-десятичными знаками после запятой, то условные варианты выбирают так:
ui=Cxi, C=10k;
Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, находят исправленную выборочную дисперсию.
более удобна формула:
-
исправленное выборочное среднеквадратическое
отклонение.
19. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Точность и надёжность оценки. Доверительный интервал. Доверительный интервал для оценки мят. ожидания нормально распределённой случайной величины с известным σ.
Точечной оценкой наз. оценка, характеризуемая одним числом. Оценка параметра, характеризуемая двумя числами (концами интервала) наз. интервальной.
Пусть
Число
δ такое, что величина
характеризует точность оценки а(с
волной)
Надежностью (дов. вероятностью) оценки а по а(с волной) наз. вероятность γ(гамма), с которой выполняется
L – интервал, покрывающий параметр а с заданной надёжностью γ.
Пусть Х(а, σ) нормально распределена.
Известно, что при нормальном распределении М(Х)=а, D(X)=σ2;
в дальнейшем все хв буду писать без черты сверху, но она там есть!
Хв – также имеет нормальное распределение, причем
М(Хв)=а, D(Xв)= σ2/n;
! не путать σ и σ(Х) !
обозначим
,
тогда
Таким образом, с вероятностью γ можно утверждать, что параметр а покроет интервал
