Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализа­ции единицы, каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

Решение:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее опти­мальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двой­ственности:

   • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

   • определить, как изменятся выручка и план выпуска продук­ции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц за­пасов сырья I вида;

   • оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

1. Сформулируем целевую функцию:

сформулируем функциональные ограничения для целевой функции:

≤180

≤210

≤800

х1,2,3,4≥0

С помощью надстройки Excel « Поиск решения» (рис.2.) найдем оптимальный план задачи (значения , и значение функции ).

Рис. 2. Решение с помощью надстройки Excel « Поиск решения».

Подставим найденный оптимальный план в систему функциональных ограничений: столбец «F» (рис 2), поскольку второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью переменные целевой y₁ и y₂ не будут равны нулю, и поскольку первое ограничение содержит знак неравенства, по второй теореме двойственности y₁=0.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее опти­мальный план с помощью теорем двойственности.

Minφ(x)=

≥9

≥6

≥4

≥7

≥0

По второй части второй теоремы двойственности, поскольку y₁ и y₂ >0 второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью, т.е. правомерно решить систему уравнений:

=9,

=6; y₁=0; y₂=1,5; y₃=2,25.

3. y₁ = 0 – это самый не дефицитный ресурс, а y₃ = 2,25 – самый дефицитный.

4. Для анализа воспользуемся свойствами двойственных оценок:

Если увеличить запасы второго сырья на 120 единиц, третьего сырья на 160 единиц, и уменьшении первого сырья на 60 единиц, то выручка увеличится на 700 единиц, а план выпуска продукции изменится.

Тип сырья	Запасы сырья	Увеличение запасов сырья (Х)	Ресурсы (Y)
1	180	-60	0	0
2	210	120	1,5	180
3	800	160	2,25	360
				540
F(x)	2115	+	540	2655

Из таблицы видно, что при увеличении запасов сырья (1-го на -60, 2-го на 120, 3-го на 160) целевая функция увеличилась на 540 ед.

max f(x) = 120y1+310y2+960y3=2655

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки
				Результ.		Нормир.	Целевой		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя		значение		стоимость	Коэффициент		Увеличение		Уменьшение
	$B$10	x1		75		0	9		0,333333334		9
	$C$10	x2		330		0	6		1E+30		0,166666667
	$D$10	х3		0		-0,500000001	3,999999999		0,500000001		1E+30
	$E$10	х4		0		-5	7,000000001		5		1E+30
Ограничения
				Результ.		Теневая	Ограничение		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя		значение		Цена	Правая часть		Увеличение		Уменьшение
	$F$13			75		0	120		1E+30		45
	$F$14			330		1,5	330		150		90
	$F$15			960		2,25	960		180		300

Из отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса

1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый план выпуска составляет 75 изделий первого вида и 330 изделий второго вида. Изменение общей стоимости продукции на 540 ед.(2655-2115=540)получено за счет уменьшения плана выпуска на 20ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9*(75-95)=-180 ед.) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6*(330-210)=720 ед.).

• С помощью оценок двойственности можно понять эффектно или не эффектно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие (Д)	Оценки ресурсов
I	2	0
II	2	1,5
III	2	2,25
Цена изделия	12

=2*0+2*1,5+2*2,25-12=-4,5 < 0, это значит что изделие выгодно для включения в план, т.к. затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.