13.Уравнение неразрывности потока. Вывод, прим для реш задач.
Уравнение неразрывности или сплошной жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что в нутрии движущейся жидкости не может произойти разрыв, т. е. установится пустота.
У
равнение
неразрывности может быть представлено
в дифференциальной форме для частицы
жидкости и элементарной струйки, а также
в конечных величинах для потока жидкости.
Выделим
в потоке элементарный объем. Рассмотрим
изменение протекающей массы жидкости
по оси Ox. Скорость жидкости вытекающей
через левую грань Ux, тогда скорость
вытекающей через правую
Принимая Б=const, можно записать, что через0
левую грань за время dt пройдет масса
;
(
где Uxdt=dx;
)
А
через правую
Разность
этих масс составит
Рассматривая
по аналогии изменение массы жидкости
по осям Oy и Oz, запишем
и
Закон сохранения массы требует, чтобы общее изменение массы, прошедшей через выбранный объем, равнялось нулю
=0
И
ли
Уравнение называется уравнением неразрывности или сплошности в дифференциальной форме для произвольного движения несжимаемой жидкости.
Для струйки уравнение будет иметь вид:
где Q – количество жидкости (расход);
ω– угловая скорость струйки;
∂l – длина элементарного участка рассматриваемой струйки.
Если давление установившееся или площадь живого сечения ω = const, то ∂ω /∂t = 0, т. е. согласно (3),
ρ∂Q/∂l
= 0, следовательно,
14.Ур-е Бернулля для элементарной струйки идеальной жидкости.
Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении. Выделим сечениями 1-1 и 2-2 отсек этой струйки (рис. 1.24). Высотное положение центров тяжести живых сечений относительно произвольно расположенной плоскости сравнения 00 характеризуется ординатами z1 и z2. Давления в центрах сечений p1 и p2, скорости u1 и u2 соответственно.
на отсек действуют только силы тяжести и силы гидродинамического давления (силы внутреннего трения отсутствуют, поскольку жидкость невязкая).
За малый промежуток времени Δt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1’-1’ на расстояние Δl1 = u1Δt, а частицы из 2-2 - 2’-2’ на расстояние Δl2 = u2Δt.
Применим теорему кинетической энергии. Согласно теореме приращение кинетической энергии отсека должно быть равно сумме работ всех сил, действующих на отсек, при указанном движении.
Работу производят силы тяжести и силы давления, действующие по крайним живым сечениям струйки. Направление по нормали к боковым поверхностям струйки (к направлению движения) давления окружающей массы невязкой жидкости работы не производят.
Приращение кинетической энергии отсека за t равно разности кинетических энергий элементов 1-1’ и 2-2’, так как в пределах участка 1’-2 при установившемся движении кинетическая энергия остается постоянной. Тогда
Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.