2.1. Вероятностное пространство. Пространство элементарных событий.

Введем множество  - элементарных исходов экспериментов (пространство элементарных событий). Выделим в этих пространствах класс событий U – алгебра или σ-алгебра событий. На множестве U зададим функцию Р, удовлетворяющую некоторым условиям. Назовем ее вероятностью. Тогда тройка (, U, P), которая вводится при формализации любой вероятно­стн­­ой задачи называется вероя­тно­с­т­ным пространством.

Пространство элементарных событий. Произвольное множество  называется пространством эле­ме­нтарных событий. Элементы w - элементарные события. Эти понятия являются первоначальными. В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимно-исключающие исходы. Дело в том, что для любой задачи пространство элементарных исходов  подбирается наиболее подходящим образом. Например 1) подбрасывание монеты  = {w₁, w₂}={w_г, w_р}={“Г”, “Р”} 2) подбрасывание игральных костей  = {w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆} 3) подбрасывание монеты n–раз n=3 ,  = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР} количество элементарных исходов определяется по формуле 2ⁿ 2³ = 8. 4) Работа телефонной станции. Здесь  - дискретное счетное множество  = {0,1,2,…} где w_i = i обозначает число вызовов в течение времени [0, T]. Предполагается, что большое число вызовов происходит с очень малой вероятностью, что совпадает с практикой. Если вместе с числом вызовов рассматривать и момент их поступления, то  представится виде множества ступенчатых функций, где любое ее значение const – время между моментами поступления вызовов. Эта функция имеет скачок в момент поступления вызова . 5) стрельба по плоской мишени. Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат. И к любому исходу опыта попадание в определенную точку плоскости поставим в соответствие координату. Тогда  = {(u,v): –∞ < u,v <+∞ u,v R} – пространство элементарных событий. 6) броуновское движение. В микроскоп в течение [0, Т] наблюдается движение частицы подвергается большому числу ударов со сторону молекул. Исходом этого опыта будет определенная траектория движения этих частиц. Если интересоваться движению частицы вдоль заданного направления, что в любой момент времени t[0, Т] положение ее проекции на заданное направление будет определяться x(t). В этом случае  = {x(t)} – есть множество непрерывных действительных функций, определенных на временном промежутке [0, T].

2.2. Алгебра событий

Случайные события будем называть любое подмножество множества W = {w₁,…,w_n}, W = {w₁,…,w_n, …} если оно конечно или счетно. Для произвольного W случайным событием будем называть только подмножество из некоторого класса U подмножества в W. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ. Пусть есть события А и В. 1) А+В = АВ – сумма двух событий. 2) АВ = АВ – произведение двух событий. 3) А\В – разность двух событий. 4) Событие W называется достоверным. 5) Событие  = W \ W - называется невозможностью. 6) = W \ А – событие, противоположное А. 7) А и В несовместны, если АВ =  8) Если АВ <=> BA, то А подмножество В 9) Элемент множества W обозначают w. wW. ЗАМЕЧАНИЕ: понятие суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности А₁+…+А_n = А₁*…*А_n = Для произвольных событий имеет место А+А=А; А*А=А; А* = (А+В)С = АС+ВС. Док-во ! То есть доказать, что, если w то w и наоборот – если w , то w . (=>) (<=) => ОПРЕДЕЛЕНИЕ: пусть W - произвольное пространство элементарных событий, а U – некоторый класс подмножеств множества W. Класс подмножеств U называется алгеброй событий, если WÎ U AÎ U, BÎ U имеем А+ВÎ U, ABÎ U A\BÎ U => =W \ W Î U. Следствие 1. наименьшей системой подмножеств являющихся алгеброй будет подмножество (W, Æ) U. Следствие 2. Если U – система всех подмножества W, то U – алгебра. Следствие 3. Если W - конечное множество, то система всех подмножеств также конечное множество. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра событий U называется σ-алгеброй (борелевской алгеброй), если из того, что A_nÎ U n=1,2,… следует Î U Î U.