11.2. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.

Иногда поведение случайной величины характеризуется вовсе не задание ее функции распределения, а каким-либо другим способом. Всякая такая характеристика носит название закона распределения случайной величины, если только по определенным правилам можно получит из нее функцию распределения. Закон распределения называется дискретным, если существует конечное или счетное множество чисел х₁,х₂,… без точек накопления, таких что Р(ξ=x_k)=p_k 0, k=1,2,…,n и

Случайная величина имеющая дискретный закон распределения называется дискретной. Закон распределения величины ξ называется абсолютно непрерывным, если существует ф-ия P_ξ(x)0: F_ξ(x)= с переменным верхним пределом. Случайная величина, имеющая непрерывно распределение называется абсолютно непрерывной. Функция P_ξ(x) – плотность распределения вероятности случайной величины ξ. (проще – плотность вероятностей).

11.3. Свойства плотности распределения вероятностей. Наиболее распространенные распределения.

Функция P_ξ(x) – плотность распределения вероятности случайной величины ξ. (проще – плотность вероятностей). Предполагают, что эта функция непрерывна всюду, за исключение конечного числа точек. Свойства P_ξ(x): (1) P_ξ(x)0 (2) (3) P_ξ(x)= (4) P(a ξ £b)= . Замечание: ф-ию распределения иногда называют интегральной функцией случайной величины ξ, а плотность – дифференциальной ф-ие сл. величины ξ. Наиболее часто встречающиеся распределения:

I дискретные случайные величины: 1.вырожденные случайные величины Р(ξ=а)=1 а=const 2. гипергеометрическое 2.-5. – перекатать табличку (легальную шпору 1-4)

II непрерывные случайные величины. Перекатать табличку (5-до конца)

12.1. Многомерные функции и плотности распределения вероятностей, свойства.

Определение: пусть на вероятностном пространстве (, U, P) заданы n-случайных величин ξ₁=f₁(w), ξ₂=f₂(w),…, ξ_n=f_n(w) wW f_i(w) – измеримы, тогда вектор (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) – называется случайным вектором или n-мерной случайной величиной. ξ= (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n). Совместные ф-ии распределения (или многомерные функции распределения если n- мерная функция распределения) n-мерной случайной величины (или случайного вектора) ξ= (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) называется вероятностью. F_ξ(x)=F_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n) = Р{ξ₁<x₁, ξ₂<x₂,…, ξ_n<x_n} рассмотренная как функция точки (x₁,x₂,…,x_n)Î Rⁿ n-мерного евклидова пространства. Свойства многомерной функции распределения. (1) F_ξ(x)=F_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n) – неубывающая функция по любому аргументу. (2) F_ξ(x)-непрерывна слева по любому аргументу. (3) F_ξ(+∞)=F_ξ1ξ2…ξn(+∞,+∞,…,+∞)=1 k=1,2,…,n при произвольных значениях остальных аргументов. (4) при любых a_i,b_i i=1,2,…,n выражение Р{a₁ξ₁£b₁, a₂£ξ₂£b₂,…,a_n£ξ_n£b_n} такая что  x₁,x₂,…,x_n имеет место равенство F_ξ(x)=F_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n) = F(b₁,b₂,…,b_n)= = - неотрицательные p_ij…k – есть значение функции распределения F(c₁,c₂,…,c_n), когда a_i=c_i, a_j=c_j, a_k=c_k, а остальные c_s=b_s. Замечание: в одномерном случае необходимо и достаточно было трех первых свойств для функции распределения. Если существует такая P_ξ(x)= F_ξ(x)=P_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n), что такая что  x₁,x₂,…,x_n имеет место равенство F_ξ(x)=F_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n) = , то эта функция называется плотностью распределения вероятности случайного вектора или n-мерной плотностью (или многомерной совместной плотностью). Свойства плотности (1) F_ξ(x)=F_ξ1ξ2…ξn(x₁,x₂,…,x_n)0 (2) вероятность попадания точки в область G Р{(ξ₁, ξ₂,…, ξ_n)Î G}= (3)