5. Условные вероятности. Примеры.

Пример: из колоды карт последовательно вынимают 2 карты, найти 1 – вероятность того, что 2ая карта окажется тузом. 2-условную вероятность того, что 2ая карта будет тузом, если 1ая карта – туз. Решение: А={туз на 2-ом месте} В={туз на 1-ом месте}. (1) А= -несовместные события Р(А)=Р( )=Р(АВ)+Р( )=|AB|/|W|+| |/|W|= =4*3/(36*35)+32*4/(35*35)=1/9. (2) Если 1-ая карта туз, то в колоде осталось 35 карт, где три из них туры. Р(А/В)=3/35 Р(А/В)=|АВ|/|B| = [|BA|/|W|]/[|B|/|W|]= 3/35. Общее определение условной вероятности есть формула Р(А/В)=P(AB)/P(B).. Вероятность того, что А произошло при условии того, что произошло В - есть отношение совместного появления АВ на вероятность условия В.

Брошено две игральные кости. Какова вероятность того, что выпало «33», если известно, что сумма выпавших очков делится на 3. А={21,12,15,51,24,42,66,33,36,63,54,45} |A|=12 B={33}=P(AB) |B|=1; P(A/B)=P(AB)/P(A)=1/12

6. Вероятность произведения событий. Примеры.

Из формулы Р(А/В)=[ |BA|/|W| ]/[ |B|/|W| ] => Р(ВА)=Р(В)*Р(А/В)=Р(А)*Р(В/А) получаем теорему умножения . ТЕОРЕМА: вероятность произведения 2х событий равна вероятности одного из них умноженного на условную вероятность 2го события при условии, что 1ое произошло. Если Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В) то события А и В независимы. В этом случае Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(А)*Р(В). Теорема: вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Замечние: эти теоремы переносятся на число зависимых или независимых событий. Р(А₁,…, А_n)=P(A₁)*…*P(A_n) если A_i i=1,…,n независимы и Р(А₁,…, А_n)=P(A₁)*Р(А₂/А₁)* Р(А₃/А₂А₁)*…*P(A_n /А₁…А_n ) если A_i i=1,…,n зависимы. Пример. У человека в кармане n ключей из которых только один подходит . Ключи извлекает последовательно без возвращения до тех пор, пока не найдет нужный ключ. Найти вероятность того, что нужный ключ появится при к-том извлечении. Ак={нужный ключ извлечен при к-том испытании} Aк= - независимы Р(Ак)=Р( )=

=

7. Формула полной вероятности. Примеры.

Пусть произвольное событие А может осуществиться с одним и только одним из n-попарно-несовместных событий В₁,…,В_n, BiBj=, образующих полную группу событий, тогда вероятность нескольких событий А B Bi ­– называют гипотезами. Пример. Две урны (2б +4ч) и (3б+2ч) вынимают по 1 шару. Из этих двух вынимают один. Какова вероятность, что он белый. А={извлечь из пары шаров белый}В₁={2б шара в паре}В₂={2ч шара в паре}В₃={1ч+1б в паре}. Р(А)= =Р(В₁)Р(А/В₁)+Р(В₂)Р(А/В₂)+Р(В₃)Р(А/В₃) Р(В₁)=2/6*3/5=1/5 Р(В₂)=4/6*2/5=4/15 Р(В₃)=2/6*2/5+4/6*3/5=8/15 Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃)=1 – необходимое условие. Р(А/В₁) = 1, Р(А/В₂) = 0, Р(А/В₃) = 1/2, Р(А)=1/5+4/15=7/15

8. Формула Байеса (вероятности гипотез). Примеры.

Пусть в условии задачи: даны две урны (2б +4ч) и (3б+2ч) вынимают по 1 шару. Из этих двух вынимают один. Какова вероятность, что он белый. А={извлечь из пары шаров белый}В₁={2б шара в паре}В₂={2ч шара в паре}В₃={1ч+1б в паре} Р(А)= . Событие А произошло. Воспользуемся теоремой умножения вероятности Р(ВiA)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi) откуда =>Р(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi) / P(A) = P(Bi)P(A/Bi) / - формула Байеса. Пример. В трех урнах (2б+3ч) (3б+2ч) (4б+1ч). Наудачу выбран белый шар . Какова вероятность, что шар из третьей урны. А={белый шар из наудачу выбранной урны}. Вi ={белый из i-той урны} i=1,2,3. Р(B₃/A) - ? Брошено две игральные кости. Какова вероятность того, что выпало «33», если известно, что сумма выпавших очков делится на 3. А={21,12,15,51,24,42,66,33,36,63,54,45} |A|=12 B={33}=P(AB) |B|=1; P(A/B)=P(AB)/P(A)=1/12