4. Собственные значения и собственные функции

(- ħ²/2m) ∆ ψ + U (x,y,z) ψ = E ψ

ψ₁ ψ₂ ψ₃ - собственные функции

E₁ E₂ E₃ - собственные значения E

Не все пси функции удовлетворяют этому условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C E_k = p²/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C E_k = mC² – m₀C² – уравнение Дирака учитывающее спин

Глава 6. Применение квантовой механики. §1 Движение мкч в свободном пространстве.

1.Уравнение Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ²/2m) (∂² ψ /∂x² ) = E ψ

E = p²/2m

(d² ψ /dx² ) + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

(d² ψ /dx² ) + k² ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e ^rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂² ψ /∂x² ) = r² ψ

r² ψ + k² ψ = 0

ψ != 0

r² + k² = 0 => r = +- ik

ψ = A e ^ikx + B e ^–ikx

2.Собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ²) E) = sqr((2m/ħ²) (p²/2m)) = p/ ħ

ψ = A e ^{–i (p/ ħ )x} + B e ^{–i (p/ ħ ) x}

умножаем на временной множитель

f(t) = e ^{–i/ ħ (Et)}

Ψ (x,t) = ψ(x) e ^{–i/ ħ (Et)}

Ψ (x,t) = A e ^{–i/ ħ (Et - px)} + B e ^{–i/ ħ (Et + px)}

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x,t) = A e ^{–i/ ħ (Et - px)}

3. Собственные значения энергии

(2m/ħ²) E = k²

E= k² ħ²/2m

- Квадратичная функция.

§2 Движение мкч в потенциальном ящике.

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных ям.

Потенциальная яма – область прорыва в которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.

Ямы могут имеет самую причудливую форму.

Для удобства вид ямы сводят к прямоугольному виду

Потенциальный ящик – одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

U(x) = {0 0<x<L

Бесконечность 0>=x, x>=L}

Мкч не может выйти за пределы ящика, граничные условия:

{ ψ (0) = 0

ψ (L)=0}

уравнение шредингера и его решения для частицы в потенциальном ящике

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

(d² ψ /dx² ) + k² ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ^ikx + B’ e ^–ikx

По т.Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2 тогда ψ1 = Cos kx

A’ = -i/2 B’= -i/2 тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x,t) = e ^{–i/ ħ (Et )} (ASinkx + BCoskx) - амплитудное рещение

Ψ (x,t) = Ae ^{–i/ ħ (Et )} Sinkx + B e ^{–i/ ħ (Et )} Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0 ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ²) E = (nPi/L)²

E= n² Pi²ħ²/2mL²

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E₁= Pi²ħ²/2mL²

E₂=4 Pi²ħ²/2mL² итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = E_n+1 – E_n = (n+1)² (Pi²ħ²/2mL²) – n² (Pi²ħ²/2mL²) = (2n+1) (Pi²ħ²/2mL²) ~ n

Дискретность проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность ∆E/E = 2n+1/n² ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Собственные функции

ψ (x) = ASin(nPi/L)x

Условие нормировки:

(интеграл от 0 до L) (A²Sin²(nPix/L) dx) =1

A² 1/2 (интеграл от 0 до L) (1 -Cos(2nPix/L) dx) =1

A² 1/2 [(интеграл от 0 до L)(dx) - (интеграл от 0 до L) (Cos(2nPix/L) dx)] =1

A² 1/2 [x| - ((1/2n(Pi/L)) (Sin(2nPix/L) )) |] =1

A² L/2 = 1

A = sqr (2/L)

ψ (x) = sqr (2/L) Sin(nPi/L)x

Ψ (x) = sqr (2/L) e ^{–i/ ħ (Et )} Sin(nPi x /L)

n=1 ψ 1 = sqr (2/L) Sin(Pi x/L) E= Pi²ħ²/2mL²

n=2 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(2Pi x/L) E= 4Pi²ħ²/2mL²

n=3 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(3Pi x/L) E= 9Pi²ħ²/2mL²

n – число максимумов

для классической частицы будет просто прямая.

n стремится к бесконечности – кривая вырождается в прямую

принцип соответствия Бора: квантовая механика переходит в классическую.

Общие выводы:

- спектр энергии мкч в потенциальном ящике дискретен

- минимальная Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике != 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя

- дискретность энергии мкч проявляется только при достаточно малых размерах потенциального ящика и малой массе мкч

- дискретность исчезает при n, стремящемся к бесконечности.