§2 Общий вид уравнения Шредингера от времени.

1920 г. Постулат.

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x²) = i ħ (∂ Ψ/∂t) – для свободной мкч

Для трехмерного случая:

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

В операторной форме:

- ħ²/2m * ∆ Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

t-независимая переменная

неизвестная функция Ψ(x,y,z,t)

С учетом силового поля:

E = T + U (x,y,z,t)

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x²) + U(x,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) + U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

- ħ²/2m * ∆ Ψ + U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Решение - Ψ (x,y,z,t)

§3 Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общая характеристика стац. Состояний

Состояние называется стационарным если | Ψ (x,y,z,t) |² = const

M(x,y,z)

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

E = p²/2m + U(x,y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |² = const

| Ψ (x,y,z,t) |² = const

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) ψ (x,y,z)

Ψ(x,t) = A e^{–i/ ħ (Et –px)} удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)}

ψ = A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)}

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

- ħ²/∂x² + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x,t) = e^{–i/ ħ (Et )} ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e^{–(i/ ħ) E} ∂ ψ /∂x

∂ ²Ψ/∂x² = e^{–(i/ ħ)} ∂² ψ /∂x²

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ∂ ψ

(- ħ²/2m) e^{–(i/ ħ) Et} (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) e^{–(i/ ħ) Et} ψ = i ħ–(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ψ

(- ħ²/2m) (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p²/2m – U(x,y,z)

ψ (x,y,z)

(- ħ²/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ²/2m) ∆ Ψ = 0

(- ħ²/2m) ∂ ²Ψ/∂x² =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x,t) = Ae^{–i/ ħ (Et -px)}

Уравнение Шредингера в стац состоянии для свободной мкч.

(- ħ²/2m) (∂² Ψ /∂x² + ∂² Ψ /∂y² + ∂² Ψ /∂y²) = E Ψ

(- ħ²/2m) (∂² Ψ /∂x²) = E Ψ – одномерный случай

Уравнение Шредингера описывает возможные состояния волн де Бройля

§4 Уравнение Шредингера для n частиц

Ур. Стационарного состояния для 1й частицы: (- ħ²/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Система находится под действием силы F

(- ħ²/2) ∑ (1 /m_i) ∆_i Ψ + [∑ U (r_i) + U_{взаимодействия} (r₁ …. r_N)] Ψ = EΨ

U (r_i) – Eпот iй мкч в силовом поле

U_{взаимодействия} - Eпот взаимодействия всех частиц

E – полная энергия всех частиц

Решение: Ψ (r₁ …. r_N)

Решив уравнение можно найти | Ψ (r₁ …. r_N)|² = dW/dV

§5 Анализ решений уравнений Шредингера

1.Сравнение с обычным волновым уравнением:

∂² S /∂x² = 1 ∂²S/ U² ∂t²

Его решение: S = A Cos (ωt - kx)

По теореме Эйлера: S = e ^{-i(ωt - kx)} = A [ Cos (ωt - kx) - iSin(ωt - kx)]

iSin(ωt - kx) – не отражает реального физического пр. (??)

В решении уравнения Шредингера мы не отбарсываем мнимую чать:

(- ħ²/2m) (∂²Ψ/∂x² ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ = ACos (ωt - kx) – не решение

Решение: Ψ =Ae^{-i(ωt - kx)} = A [Cos(ωt - kx) - iSin(ωt - kx)] – плоска волна де Бройля

2.Начальные и граничные условия

Решить уравнения модно только зная начальные и граничные условия

(- ħ²/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x,y,z,t) – решение

Ψ (x,y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x,y,z,t) →Ψ (x,y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные условия входит Епот в явном виде

U (x,y,z,t)

Ψ (0,t) Ψ (e,t)

3. Стандартные естественные условия

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция непрерывна

2.однозначна

3.конечна – требование из условия нормировки (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x,y,z,t)|²dxdydz) = 1