7. Приведение матрицы к упрощенному виду.

1. Перестановка двух строк.

2. Умножение всех элементов строки на число не равное 0.

3. Прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на некоторое число.

Определение.

Матрицу упрощенного вида называют матрицей вида то есть

Теорема.

При ведении матрицы к упрощенному виду. Любую матрицу можно превратить матрицу упрощенного вида элементарным преобразованием.

Пример.

5. Существование обратной матрицы.

Матрица называется обратной к матрице , если ; обозначение .

Пример.

Определение.

Матрица называется выраженной, если и невыраженной, если

Теорема. (существование обратной матрицы).

У любой невыраженной матрицы есть обратная матрица.

Ее можно найти по формуле:

Пример.

Формула.

Доказательство.

Пусть – матрица заданная формулой. Нужно проверить, что и .

Пусть

Проверим, что

Если , то разложение по строке;

Если ;

Пусть

Проверим, что

Элементы kстолбцаалгебраические дополнение iстолбца.

8. Теорема о равенстве нулю миноров большого порядка.

Теорема.

Пусть все миноры порядка равны 0.

Тогда:

1. Все миноры порядка равны 0.

2. Для любого все миноры порядка равны 0.

Доказательство.

1. Рассмотрим минор k+1 порядка.

Пусть

Разложим по 1 строке

– это минор k порядка матрицы X

2. Все миноры k порядка =0 =>все миноры k+1 порядка =0 =>все миноры k+2 порядка =0.

8. Ранг матрицы и элементарные преобразования: формулировка теоремы, доказательство для прибавления к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Теорема. (Ранг матрицы и элементарные преобразования).

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

1. Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

К iстроке прибавляем kстроку, умноженную на d.

• iстрока не входит в x =>x - не изменятся.

• iстрока и kстрока входит в x => ; (свойство 8)

• iстрока входитв x, kстрока не входит в x.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

6. Единственность обратной матрицы. Обратная матрица к произведению. Матричныеуравнения.

Теорема. (Единственность обратной матрицы).

Обратная матрица единственная.

Доказательство.

Пусть – обратная матрица.

и

Теорема. (Обратная матрица к произведению).

Доказательство.

Проверим, что – обратная матрица к .

1. 

2. 

Теорема. (Матричные уравнения).

Пусть - невыраженная матрица.

1. Для любой матрицы - матричное уравнение имеет единственное решение .

2. Для любой матрицы - матричное уравнение имеет единственное решение

Доказательство.

1. 

• 

• Других решений нет

2. 

• 

• Других решений нет

Пример.