Применения скалярного произведения: длина вектора, длина проекции одного вектора на другой, угол между векторами.
Длина вектора.
Если
,
то длина
Доказательство.
На
плоскости
Длина проекции одного вектора на другой.
Если
и
,
то
Доказательство.
Угол между векторами.
Если и , то
Доказательство.
Векторное произведение: определение и выражение через координаты сомножителей.
Определение.
Для
векторов
и
определили их векторное произведение
по следующему правилу:
Если
то
.Если
,
то
Длина числено равна площади параллелограмма, построенного на и , т.е.
.
Вектор
.
– это
правая тройка.
Теорема. (выражение векторного произведения через координаты сомножителей).
Пусть и , тогда
Доказательство.
Смешанное произведение векторов: определение и геометрический смысл.
Смешанным
произведением
называется число
.
Теорема. (геометрический смысл).
Если компланарны, то
.Пусть не компланарны,
– объем параллелепипеда, построенного
на
,
тогда:
,
если
– правая тройка.
,
если
– левая тройка.
Д
оказательство.
Путь
Пусть
– это плоскость в которой лежат
.
Векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.
Векторным
уравнением прямой
называется уравнение вида
,
где
–
числовой параметр,
–
радиус вектора на прямой.
Параметрическим
уравнением прямой
называется уравнение вида
–
параметр.
Каноническое уравнение прямой.
Уравнение можно записать в виде:
,
если
.
,
если
.
,
если
.
Доказательство.
,
следовательно
.
.
.
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данные точки, и уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через2 данные точки.
Пусть A(x; y) и B(x; y). Тогда уравнение прямой AB можно записать в виде:
,
если
.
,
если
.
,
если
.
Доказательство.
– направляющий вектор прямой
A
– точка лежащая на прямой
.
Уравнение прямой в отрезках.
Пусть
прямая L
пересекает оси координат в точках A(a;
o)
и B(o;
b).
Тогда ее уравнение можно записать в
виде
.
Доказательство.
Применим
следствие 2,
- уравнение проходящее через A
и B.
Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости.
Общее уравнения прямой на плоскости.
Пусть
- нормальный вектор примой, а
- точка лежащая на L.
Тогда Lможно
задать уравнением.
,
где
- радиус вектор точки
,
- радиус вектор произвольной точки на
L.
.
–
общее
уравнение.
Доказательство.
.
.
Нормальное уравнения прямой на плоскости.
Пусть
прямая Lне
проходит через начало координат (0).
Пусть
- перпендикуляр из O
на L,
–
длина
;
-
угол
с
осью Ox.
Тогда Lможно
задать таким уравнением.
Доказательство.
-
нормальный вектор L,
.
Координаты
-это
.
,
делим
на p.
