Ранг матрицы и элементарные преобразования: формулировка теоремы, доказательство для прибавления к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Теорема. (Ранг матрицы и элементарные преобразования).
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
К iстроке прибавляем kстроку, умноженную на d.
iстрока не входит в x =>x - не изменятся.
iстрока и kстрока входит в x => ; (свойство 8)
iстрока входитв x, kстрока не входит в x.
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Ранг матрицы упрощенного вида.
Теорема. (Ранг матрицы упрощенного вида).
Ранг
матрицы упрощенного вида равен количеству
не нулевых строк, то есть, если
то
.
Доказательство.
– не
нулевой минор порядка r.
У любого минора (r+1) порядка есть нулевой.
Разложим по I строке.
