41. Функции от случайных величин.

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Дана система случайных величин  , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Требуется определить закон распределения случайной величины  , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Тогда   также дискретная случайная величина с возможными значениями  . Если все значения   различны, то для каждого   события   и   тождественны. Следовательно,

Если же среди чисел   есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений   нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения  случайной величины  , найти плотность распределения   случайной величины  . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция   является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале  , на котором лежат все возможные значения величины  . Тогда обратная функция   существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

42. Неравенство Чебышева.

Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений.

Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е.   для любого  ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых  . Получим, что

.   (9)

Для всех слагаемых в правой части (9)  , поэтому

.   (10)

Из (9) и (10) следует требуемое.

Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

.Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х))². Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим b = a². Событие {Y>b} совпадает с событием {|X – M(X)|>a}, а потому

,что и требовалось доказать.