38. Характеристические функции.
Характеристической
функцией случайной величины 
называется
функция
,
где 
-
мнимая единица. Функция 
представляет
собой математическое ожидание некоторой
комплексной случайной величины
,
функционально связанной с величиной . При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.
Зная закон распределения случайной величины , легко найти ее характеристическую функцию.
Если - прерывная случайная величина с рядом распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ее характеристическая функция
Если Х -
непрерывная случайная величина с
плотностью распределения 
,
то ее характеристическая функция
.
Пример 1. Случайная величина Х - число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна Р. Найти характеристическую функцию случайной величины Х.
Решение. По формуле (13.7.2) имеем:
,
где 
.
Пример 2. Случайная величина имеет нормальное распределение:
.
(13.7.4)
Определить ее характеристическую функцию.
Решение. По формуле (13.7.3) имеем:
.
(13.7.5)
Пользуясь известной формулой
и имея в виду,
что 
,
получим:
.
(13.7.6)
Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию непрерывной случайной величины через ее плотность распределения . Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть , чтобы получить называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция выражается через с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция выражается через с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:
.
(13.7.7)
Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.
1. Если случайные
величины
и 
связаны
соотношением
,
где а -
неслучайный множитель, то их
характеристические функции связаны
соотношением:
.
(13.7.8)
Доказательство:
.
2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство.
Даны 
-
независимые случайные величины с
характеристическими функциями
и их сумма
.
Требуется доказать, что
.
Имеем
.
Так как
величины 
независимы,
то независимы и их функции 
.
По теореме умножения математических
ожиданий получим:
,
что и требовалось доказать.
Аппарат
характеристических функций часто
применяется для композиции законов
распределения. Пусть, например, имеются
две независимые случайные величины X и Y с
плотностями распределения 
и 
.
Требуется найти плотность распределения
величины
.
Это можно выполнить
следующим образом: найти характеристические
функции 
и 
случайных
величин Х и Y и,
перемножив их, получить характеристическую
функцию величины Z:
,
после чего,
подвергнув 
обратному
преобразованию Фурье, найти плотность
распределения величины z:
.
Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:
с
характеристиками 
; 
;
с
характеристиками 
, 
.
Решение. Находим характеристическую функцию величины X. Для этого представим ее в виде
,
где 
; 
.
Пользуясь результатом примера 2, найдем
.
Согласно свойству 1 характеристических функций,
.
Аналогично
.
Перемножая и , имеем:
,
а это есть
характеристическая функция нормального
закона с параметрами 
; 
.
Таким образом, получена композиция
нормальных законов гораздо более
простыми средствами, чем в 