Вопрос 11 Частица в одномерной потенциальной яме.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения Шредингера (2.24) для частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и движущейся вдоль координатной оси Оx (одномерное движение). График потенциальной энергии U(x) для этого случая приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Потенциальная энергия равна нулю при (область I) и бесконечно велика при и (области 2 и 3). Возрастание потенциальной энергии скачком от нуля до бесконечности соответствует тому, что при приближении частицы, находя­щейся внутри ямы (в области I) к стен­кам (точкам и ) возникают бесконечно большие силы, препятствующие движению частицы. Рассматриваемый здесь случай весьма идеализирован, однако на нем хорошо видны особенности решения задач квантовой ме­ханики в случае движения частицы в ограниченной области.

При одномерном движении вдоль оси Оx волновая функция зависит лишь от одной переменной x, ее производные и равны нулю, и уравнение (2.24) в области 1 (U = 0) принимает вид

или

Здесь E > 0, поскольку потенциальная энергия U = 0, а полная энергия больше потенциальной.

Чтобы решить уравнение (2.27), нам нужно найти такую функцию Ψ(x), вторая производная которой по x пропорциональна самой функции, взятой с обратным знаком. Как известно, такой функцией в самом общем случае является

где C, β, α – неизвестные постоянные, которые следует определить при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функ­цию.

Чтобы найти постоянные α и β, рассмотрим значения, которые функция Ψ(x) принимает на границах области 1, т.е. при x = 0 и при x = l. В области 2 и 3 частица проникнуть не может, поэтому внутри них волновая функция тождественно равна нулю. Так как волно­вая функция должна быть непрерывной, то функция (2.28) при x = 0 и при x = l также должна обращаться в нуль. Следовательно, откуда и . Условие выполняется теперь при , где n – целое число, т.е. необ­ходимо, чтобы

Таким образом, мы имеем целый набор волновых функций вида

удовлетворяющих условиям на границах области и соответствующих различным значениям n.

Величину коэффициента С можно найти при помощи условия норми­ровки. В одномерном случае представляет собой вероятность найти частицу в интервале dx. Так как частица не может выйти из области l, то вероятность найти ее внутри этой области (вероятность достоверного события)

Вычислим величину интеграла

Сделав замену переменной

и учитывая известную формулу

получим после ряда преобразований

Согласно условию нормировки (2.31), .

Следовательно, , и волновая функция

Чтобы окончательно убедиться в справедливости полученного решения, представим волновую функцию (2.32) в исходное уравнение (2.27):

После сокращения общих множителей получим

т.е. уравнение (2,27) удовлетворяется не при любых значениях энергии частицы, а лишь при некоторых значениях, зависящих от целого числа n:

Итак, для описания движения частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками мы получили набор волновых функций (2.32) и ряд соответствующих этим функциям отдельных "дозволенных" значений (2.33) энергии частицы – так называемый дискретный энергетический спектр. Значения энергии и волновые функции опреде­ляют состояние, в котором находится частица, и зависят от кванто­вого числа n. Это число может принимать целые положительные зна­чения, начиная с единицы (n = 1, 2, 3,…).

а) б) в)

Рис. 2.3

На рисунке 2.3 изображены:

1. три первых значения полной энергии частицы, нанесенных на график потенциальной энергии. Эти значения энергии на графике изображаются прямыми горизонтальными линиями, так как полная энергия не зависит от положения частицы, и называются поэтому уровнями энергии;

2. волновые функции, со­ответствующие этим значениям энергии;

3. зависимость плотности вероятности |Ψ(x)|² для этих трех случаев от координаты частицы x.

Заметим, что в классическом случае, в отличие от квантового, когда движение частицы описывается законами Ньютона, плотность ве­роятности нахождения частицы одинакова в любом месте потенциальной ямы с горизонтальным дном. В самом деле, в этом случае кинетическая энергия постоянна. Следовательно, постоянна и скорость частицы. Поэтому в одинаковых интервалах dx частица находится одинаковые промежутки времени.

Что же касается квантования энергии, т.е. существования отдельных строго определенных значений энергии, то вообще это характерная особенность квантового движения частицы не только в данном случае, но и всегда, когда движение частицы происхо­дит в ограниченной области.