Вопрос 12 Прохождение частиц через потенциальный барьер (туннельный эффект).

В классическом случае наглядной моделью прохождения частицы через потенциальный барьер может служить перекатывание шарика (без трения) через горку, лежащую на его пути. Потенциальная энергия шарика в поле силы тяжести про­порциональна высоте точек горки, в которых находится ша­рик. Поэтому график потенциальной энергии шарика (рис. 2.4) также имеет вид горки (отсюда и название "потенциальный барьер").

По мере вкатывания шарика на горку возрастает его потенци­альная энергия и убывает кинетическая, в то время как полная энергия шарика Е, согласно закону сохранения энергии, оста­ется постоянной (на графике она изображается прямой горизонталь­ной линией - уровнем энергии). Если полная энергия шарика меньше максимальной потенциальной энергии барьера , то шарик вкатится на горку лишь до точки с координатой потенциальная энергия в которой равна полной энергии, а затем скатится обрат­но. Если же полная энергия шарика больше максимальной потенциаль­ной энергии, то шарик перекатится через горку. Поскольку мы здесь при описании движения шарика пользовались только законом сохра­нения энергии, то эти рассуждения будут верны и для описания движения частицы в случае потенциальной энергии любого происхождения, лишь бы график ее имел вид барьера.

С точки зрения квантовой механики, когда существенны волновые свойства, прохождение частиц через потенциальный барьер больше похож на прохождение света через слой вещества, на грани­цах которого меняется показатель преломления. В самом деле, при прохождении частицы через потенциальный барьер в области барьера меняется кинетическая энергия частицы. Следовательно, меняется ее импульс и связанные с импульсом длина волны и скорость частицы, совершенно аналогично тому, что при прохождении света через гра­ницу, разделяющую среды с различными показателями преломления, меняется длина волны и скорость распространения света.

Как известно, при падении света на границу, разделяющую среды с различными показателями преломления, световая волна частич­но проходит через эту границу (преломляется), частично же отража­ется и идет в обратном направлении. Для частиц в случае прохожде­ния потенциального барьера мы вправе также ожидать наличие прохо­дящей и отраженной волн. Поскольку волны, связанные с частицами, определяют вероятность поведения частиц, то можно сказать, что для частицы, падающей на потенциальный барьер, существует вероят­ность как пройти через этот барьер, так и отразиться от него об­ратно. Иначе говоря, если на барьер падает пучок частиц одинаковой энергии, то некоторые частицы из этого пучка проходят через барьер, другие же от него отражаются.

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Вероятность прохождения (коэффициент проницаемости барьера, или его прозрачность) можно определить как отношение числа частиц, прошедших барьер в течение некоторого времени, к числу частиц, падающих на барьер за это же время.

Мы рассмотрим прохождение частиц через потенциальный барьер простейшей прямоугольной формы в одномерном случае, т.е. будем считать, что потенциальная энергия U(x) частицы, движущейся вдоль оси Ох (рис. 2.5), равна нулю при x < 0 (область I), постоянна и равна по величине U₀ при (область 2) и снова равна нулю при (область 3). Учитывая, что при одно­мерном движении вдоль оси Оx производные волновой функции и равны нулю, напишем для каждой из трех областей стационарное уравнение Шредингера (2.24) в виде:

где для краткости введены обозначения

(2.35,б)

Решениями этих уравнений в самом общем виде являются функции

(2.36,б)

(2.36,в)

где – коэффициенты, значения которых нужно определить при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функцию.

Функции представляют собой, по сути дела, волновые функции свободной частицы. В самом деле, согласно (2.15) квадрат импульса p² частицы связан с ее кинетической энергией T соотно­шением . Но T = E в областях I и 3 и T = E – U₀ в облас­ти 2. Поэтому

и

где p₁ – импульс частицы в областях I и 3 и p₂ – импульс части­цы в области 2 (при E > U₀). Чтобы получить полную волновую функ­цию, нужно согласно (2.23), умножить Ψ(x) на . В частности, в области I полная волновая функция будет иметь вид

В этом выражении первый член представляет собой волну вида (2.22), распространяющуюся слева направо (в положительном направ­лении оси Оx), а второй член, в котором импульс имеет противопо­ложный знак по сравнению с импульсом в первом члене - волну, рас­пространяющуюся справа налево. Волна, распространяющаяся слева на­право, соответствует частицам, движущимся в сторону барьера. Вол­на, распространяющаяся в противоположную сторону, представляет собой отраженную от барьера волну и соответствует частицам, движущимся от барьера налево.

Решение (2.36,в) в области 3 также содержит волны, распространяю­щиеся в обе стороны. Однако если мы примем, что на барьер падают частицы, движущиеся в положительном направлении оси Ох, то справа от барьера могут оказаться лишь частицы, прошедшие через барьер и движущиеся в том же направлении. Чтобы учесть это обстоятельство, мы исключим в области 3 волну, распространяющуюся в сторону барье­ра, положив равным нулю коэффициент b₃.

В области 2 вид решения зависит от того, что больше - потен­циальная энергия U₀ или полная энергия E. Если E > U₀, то правая часть в формуле (2.35,б) положительна, q – действительное число и решение (2.36,б) также содержит две волны: волну, прошедшую через левую границу (х = 0) барьера, и волну, отразившуюся от его правой границы (x = l).

Коэффициент a₁ в выражении (2.36,a) связан с интенсивностью пучка частиц, падающего на барьер, и поэтому может быть задан про­извольно. Оставшиеся четыре коэффициента , как мы увидим в дальнейшем, при любой энергии E частицы однозначно определяются при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функцию. Таким образом, в областях I и 2, согласно квантовой механике, должны существовать волны, отраженные от левой и правой границ барьера. Это значит, что если даже энергия частицы больше максимальной энергии барьера, некоторая доля частиц от барь­ера отражается обратно. В классической механике, как уже упомина­лось, такой эффект невозможен. В то же время наличие волны, прошед­шей через барьер (коэффициент a₃ не равен нулю), не противоречит в этом случае выводам классической механики.

Рассмотрим подробнее более интересный случай, когда полная энергия E частицы меньше высоты барьера U₀, и законы класси­ческой механики вовсе не разрешают частице пройти через этот барь­ер. В этом случае, согласно формуле (2.35,б), – мнимое чис­ло, причем

Учитывая значение q, а также то, что b₃ = 0, перепишем функции, представляющие решение уравнений (2.34), в виде:

(2.38,б)

(2.38,в)

Здесь для удобства дальнейших выкладок функцию Ψ₃ мы умножили на постоянный множитель .

Заметим еще, что в области 2 функция (2.38,б) уже не соответ­ствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент в этом случае не мнимые, а действитель­ные.

Чтобы найти коэффициенты при произвольном коэффициенте а₁, воспользуемся дополнительными условиями, накла­дываемыми на волновую функцию. Так как наша волновая функция представлена в областях 1,2 и 3 тремя различными формулами (2.38,а, б, в), то мы должны потребовать, чтобы в точках, лежащих на границах областей, т.е. при х = 0 и x = l, волновая функция и ее производная по х были бы непрерывными. Найдем производные функций (2.38,а, б, в):

(2.39,б)

(2.39,в)

Приравнивая при х = 0, при x = l, получим систему четырех уравнений для определения четырех коэффициентов :¹

(2.40,б)

(2.40,в)

(2.40,г)

Коэффициентом проницаемости D потенциального барьера мы назвали отношение числа прошедших через барьер частиц к числу час­тиц, падающих на него за то же время. Эта величина равна отноше­нию вероятности встретить частицу после прохождения барьера по его правую сторону к вероятности встретить частицу в падающем на барь­ер .пучке частиц. Так как вероятности пропорциональны квадратам модулей амплитуд соответствующих волн, то

Таким образом, чтобы найти коэффициент проницаемости, нам достаточно из уравнений (2.40,а, б, в, г) найти отношение . Для этого выразим из уравнений (2.40,в, г) коэффициенты через коэффициент :

(2.42,б)

Чтобы упростить вычисления, будем считать, что , как это часто бывает в практически важных случаях. Тогда в уравнениях (2.40,а, б) можно пренебречь коэффициентом а₂ по сравнению с b₂, а затем исключить из этих уравнений коэффициент b₁. В результате, учитывая (2.42,а), получим

Отсюда

и, следовательно, согласно (2.41), коэффициент проницаемости барьера

Подставив сюда значения , определяемые формулами (2.35,а) и (2.37), найдем

При E < U₀, когда , величина лежит в пределах от нуля до четырех. При грубых расчетах ее обычно полагают равной единице. Поэтому окончательно коэффициент прони­цаемости потенциального барьера прямоугольной формы приближенно можно вычислить по формуле

Таким образом, хотя по законам классической механики при E < U₀ частица не в состоянии преодолеть потенциальный барьер, в квантовой механике коэффициент проницаемости барьера отличен от нуля и может достигать заметной величины, если малы разность (U₀ – E) и ширина барьера l. Например, для электронов при (U₀ – E) = 1 эВ и l = 5·10^–8 см, D ≈ e^–5,1 ≈ 0,006, т.е. через барьер проходит шесть электронов из каждой тысячи.

С классической течки зрения прохождение частицы через барьер при E < U противоречит закону сохранения энергии. С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Чтобы убедиться в этом, обратимся к соотношению неопределенностей. Если мы хотим определить, прошла частица через барьер или нет, мы должны изме­рить ее координату x с ошибкой Δx, не превышающей ширину барьера l. Следовательно, ошибка в импульсе p_x частицы должна быть

С другой стороны, чтобы коэффициент проницаемости D не был слишком мал, необходимо, чтобы показатель степени в формуле не был слишком велик. Например, если , то (напомним, что ).

Поэтому будем считать, что .

Тогда

Заметим теперь, что если частице добавить кинетическую энер­гию и, следовательно, согласно (2.15), сообщить им­пульс , то она сможет пройти через барьер без нарушения закона сохранения энергии. Из неравенства (2.44) следует, что сообщенный частице импульс должен быть меньше неопре­деленности в импульсе. Иначе говоря, при прохождении частицы через потенциальный барьер в квантовой механике энергия сохраняется с точностью, которая вообще допустима при одновременном измерении координат и импульса частицы.

При помощи формулы (2.43) можно найти коэффициент проницае­мости D и в случае барьера произвольной формы. Для этого пред­ставим такой барьер в виде суммы элементарных прямоугольных барьеров равной ширины Δx (рис. 2.6). Высота элементарного барьера равна значению потенциальной энергии U(x) в середине промежутка Δx. Коэффициенты проницаемости каждого из них по отдельности будут

Здесь учтены лишь те из элементарных барьеров, для которых E < U(x), так как при E > U(x) коэффициент проницаемости очень близок к единице.

Рис. 2.6

Вероятность прохождения частицы через весь барьер представляет собой вероятность сложного собы­тия, состоящего из прохождения частицы через все элементарные барьеры, и равна произведению вероятностей прохождения через каждый элементарный барьер по отдельности (согласно теореме об умножении вероятностей). Следовательно, коэффициент проницаемости всего барьера

При стремлении Δx к нулю сумма в показателе степени переходит в интеграл, пределами которого являются координаты точек x₁ входа частицы в барьер и x₂ выхода ее из барьера.

Таким образом, коэффициент проницаемости в случае барьера произвольной формы

.

Прохождением частиц через потенциальный барьер объясняется целый ряд явлений: внешняя контактная разность потенциалов при соприкосновении разнородных проводников, холодная эмиссия электронов (испускание электронов с поверхности проводника при напряженности электрического поля вблизи этой поверхности свыше 100 кэВ/см), некоторые особенности ядерных реакций, α-распад ядер и т.д.