I.2. Равновесие плазмы в токамаке

Ближе всего к параметрам термоядерного реактора в настоящее время находится токамак. Поэтому рассмотрим равновесие в такой системе подробно. Конфигурация его представляет собой тор с сильным продольным магнитным полем, вдоль которого течет ток. В цилиндрическом приближении магнитные поверхности представляют собой коаксиальные цилиндры с постоянным радиусом. При свертывании цилиндра в тор магнитные поверхности будут торами, оси которых будут смещены относительно магнитной оси. Рассмотрим такую тороидальную систему в приближении малой тороидальности. Отношение малого радиуса тора r к большому радиусу R обычно обозначают через . Будем рассматривать токамак в пределе малой тороидальности . Сечение магнитных поверхностей плоскостью в такой системе будет представлять систему вложенных слегка вытянутых окружностей со смещенными центрами. Будем считать, что эти сечения мало отличаются от окружностей радиуса r .

Для описания магнитных поверхностей введем новую систему координат . Старые цилиндрические координаты будем называть . Удобно выбрать новую систему координат так, чтобы поверхности совпадали с магнитными поверхностями. Радиус поверхности будем называть малым радиусом в отличие от большого радиуса R, равного расстоянию от центра сечения данной поверхности до оси симметрии тора (см. рис. 3).

Пусть R₀ – большой радиус магнитной оси системы. Тогда центр магнитной поверхности радиуса r будет удален от оси симметрии тора на расстояние

. (I.2.1)

Рис. 3. Квазицилиндрическая система координат.

Введем точку А на окружности . Радиус точки А в старой системе координат в новой системе координат выражается так:

. (I.2.2)

Угол показан на рис. 4. В случае малой тороидальности он мало отличается от азимутального угла . Тороидальное магнитное поле в этом случае можно представить так:

. (I.2.3). Азимутальное магнитное поле в том же приближении может быть представлено в виде

(I.2.4)

где - параметр асимметрии, зависящий от распределения тока и давления.

В новой цилиндрической системе координат квадрат элемента длины выглядит так:

. (I.2.5)

Здесь - контравариантные компоненты вектора dl, g_ik – метрический тензор, отличные от нуля компоненты которого с точностью до имеют вид

(I.2.6)

(I.2.7)

(I.2.8)

. (I.2.9)

Уравнение силовых линий в ковариантном виде выглядит так:

(I.2.10)

Здесь

; (I.2.11)

. (I.2.12)

Величину удобно выразить так, чтобы силовые линии были прямыми, то есть выполнялось бы условие

(I.2.13)

Для этого должно выполняться равенство

(I.2.14)

Действительно, подставив это выражение в (I.2.11) и разделив на , находим

. (I.2.15)

Из условия

divH= =0, (I.2.16)

где , находим

(I.2.17)

. (I.2.18)

Окончательно для метрического тензора получаем

(I.2.19)

; (I.2.20)

; (I.2.21)

. (I.2.22)

В этой системе координат, как уже указывалось, силовые линии являются прямыми и описываются выражениями

(I.2.23)

Ковариантные и контравариантные компоненты магнитного поля имеют вид

(I.1.24)

. (I.2.25)

Составляющая будет содержать еще малую добавку к , возникающую из-за азимутального тока. В результате электрический ток выражается так:

(rotH)⁽ⁱ⁾= . (I.2.26)

Подставляя ток в уравнение равновесия, в нулевом по приближении получаем

. (I.2.27)

В следующем приближении имеем

, (I.2.28)

Откуда простым интегрированием находим .

Здесь для простоты опущен индекс «0» у H и P.

Если положить, что на кожухе сдвиг обращается в ноль, можно написать

(I.2.29)

Эта величина называется шафрановским сдвигом.