III.2. Неустойчивости цилиндрически симметричных плазменных конфигураций.

В этой главе мы рассмотрим неустойчивости идеальной плазмы, т.е. будем пренебрегать диссипативными процессами. Такие неустойчивости наиболее опасны. Во-первых, они обычно занимают по радиусу всю область плазменного шнура. Во-вторых, время их нарастания чрезвычайно мало. Действительно, оно по порядку величина равно отношению радиуса плазменного шнура a к альфвеновской скорости и в современных плазменных установках составляет величину порядка секунды.

Рассмотрим вначале простейшую теорию неустойчивости цилиндрически симметричной конфигурации относительно цилиндрически симметричного возмущения, так называемой неустойчивости относительно перетяжек, или «сосисочной неустойчивости».

Пусть равновесная конфигурация представляет собой однородный плазменный цилиндр радиуса a. Пусть вдоль оси цилиндра, совпадающей с осью z, по поверхности цилиндра протекает ток J. Цилиндр помещен в продольное магнитное поле внутри плазмы и вне ее. Вне цилиндра существует полоидальное магнитное поле . Пусть теперь на плазменном цилиндре образовалась перетяжка, радиус которой равен (рис. 8).

Рис.8. Неустойчивость относительно перетяжек

В силу идеальной проводимости поток магнитного поля через сечение перетяжки должен сохраниться,

. (III.2.1)

Отсюда в первом приближении находим:

. (III.2.2)

Ток внутри шнура остался прежним, поэтому и циркуляция вектора также сохранилась, , то есть

Вне плазмы в первом по возмущению приближении равно , а внутри - . Газокинетическое давление сохранилось. Поэтому равенство полных давлений по обе стороны границы плазмы можно В линейном приближении можно записать так:

. (III.2.3)

Если давление внутри плазмы при образовании перетяжки выросло, то есть

, (III.2.4)

то плазма устойчива, если наоборот, то неустойчива, и перетяжка будет развиваться.

III. 3. Винтовая неустойчивость

Более общим случаем возмущений цилиндрической плазменной конфигурации является винтовое возмущение. Идеальную винтовую моду в иностранной литературе называют “kink mode”. Будем в этом разделе следовать монографии [3].

Для анализа таких возмущений вернемся к достаточно общему уравнению(II.1.31). Напомним, что это уравнение описывает идеальную плазму, т.е. плазму с бесконечной проводимостью. Как и в предыдущем разделе, градиент давления и ток в плазме (за исключением тока по поверхности) равны нулю,

(III.3.1)

Будем рассматривать несжимаемую плазму,

. (III.3.2)

Тогда уравнение (II.1.31) существенно упрощается,

. (III.3.3)

Ищем решение этого уравнения в виде

(III.3.4)

Так как смещение зависит от радиус-вектора, волновой вектор является оператором,

(III.3.5)

Подставляя это выражение в (III.3.2) и учитывая, что , окончательно получаем:

. (III.3.6)

Умножим Это уравне ние скалярно на . В силу (III.3.2) левая часть этого уравнения обращается в ноль. Правая часть таже обращается в ноль, если

(III.3.7)

Мы предположили, что , где m – целое число.

Общим решением уравнения (III.3.7) является линейная комбинация модифицированной функции Бесселя и функции Кельвина,

(III.3.8)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Функция K_m расходится в нуле, поэтому С₁ = 0. Выражая C₂ через , имеем:

. (III.3.9)

Подставим в радиальную компоненту уравнения (III.3.6), имея в виду, что радиальная составляющая волнового вектора является оператором, .

. (III.3.10)¹

Штрих означает производную по аргументу. Это решение должно быть сшить с решением в вакуумной области, где rotH=0. Следовательно, магнитное поле может быть представлено как градиент некоторой функции . Тогда уравнение divH=0 переходит в уравнение Лапласа, решение которого снова имеет вид (III.3.8). Но во внешней области при , поэтому С₁=0. В результате

(III.3.11)

На границе плазмы должно выполняться условие (II.1.38). При условии несжимаемости оно приводится к виду

. (III.3.12)

Из (II.1.27) находим

(III.3.13)

а для возмущения поля во внешней области

. (III.3.14)

Подставляем ти выражения в (III.3.12)

. (III.3.15)

Еще одно краевое условие – это обращение в ноль на границе тангенциальной составляющей электрического поля в системе отсчета, движущейся вместе с плазмой,

. (III.3.16)

Берем rot от этого уравнения, учитываем, что в линейном приближении и используем нормальную к границе составляющую уравнения Максвелла . В результате получаем:

. (III.3.17)

Интегрируем это упавнение по времени

. (III.3.18)

Учитывая, что , это равенство можно переписать так:

(III.3.19)

Продифференцируем по радиусу (III.3.11) и подставим в левую часть этого равенства Отсюда находим

. (III.3.20)

Подставляя (III.3.10) и (III.3.20) в (III.3.15), плучаем в результате дисперсионное уравнение

.

(III.3.22)

Неравенство является критерием устойчивости системы. Так как второй член в правой части, так же, как и первый, - стабилизирующий. Он имеет минимум, если множитель

Пусть Условие устойчивости (III.3.21) упрощается:

Так как , мода заведомо устойчива, если . Этот случай соответствует претяжкам и уже был рассмотрен в разделе III.2 .

Мода , - это винтовая мода, «змейки» в русскоязычной литературе или “kink-mode” в англоязычной. Рассмотрим эту моду в пределе длинных волн, . При этом для цилиндрических функций можно использовать разложение в ряд, . При этом дисперсионное уравнение (III.3.21) превращается в следующее:

. (III.3.23)

В рассмотренном случае второй член в скобках отрицателен, и плазма может быть неустойчивой.

Рассмотрим типичный для токамака случай . Снова будем исследовать случай . Разложим в ряд функции Бесселя и Кельвин для .

Здесь .

Дисперсионное уравнение (III.3.21) в этом приближении имеет вид

. (III.3.24)

Квадрат частоты является квадратичной формой волнового вектора (см. рис. 9) .

Рис. 9. Качественная зависимость квадрата частоты от k_z

Значение , соответствующее минимуму этой кривой, соответствует максимальному инкременту. Это достигается при , соответствующему минимуму параболы, т. е.

. (III.3.25

Условие устойчивости имеет вид:

. (III.3.26)

Выразим это условие устойчивости через параметр .

Условие равновесия при принимает вид , что можно переписать в виде

. (III.3.27)

Выражая правую часть неравенства (III.3.26) через , получаем условие устойчивости в виде

(III.3.28)

что в пределе (случай токамака) дает:

. (III.3.29)

Это означает, что моды и неустойчивы, остальные – устойчивы.

В реальных тороидальных системах величина ограничена снизу, , где и - длина окружности и большой радиус тороидальной системы.

В бескончном цилиндре наиболее неустойчива мода с . В случае цилиндра с отождествленными концами на налагается ограничение , и если , то наиболее неустойчивой оказывается мода с . Для этого случая при условие (III.3.24) можно переписать так:

. (III.3.30)

Плазма устойчива, если положительна правая часть этого равенства,

. Это условие называется условием Крускала – Шафранрва, а величину - коэффициент запаса устойчивости Шафранова.

Это условие несколько модифицируется, если плазменный цилиндр окружен бесконечно проводящей стенкой при . В этом случае дисперсионное уравнение превращается в следующее:

. III.3.31) При удалении бесконечно проводящей стенки на бесконечность дисперсионное уравнение переходит в уравнение (III.24.24). При приближении стенки к границе плазмы система становится устойчивой. В последнее время в связи с проектом ИТЕР подробно обсуждается устойчивость плазмы со стенкой конечной проводимости, однако эта проблема выходит за рамки настоящего пособия.