III.5. Винтовая неустойчивость в системах типа «токамак»
Рассмотрим теперь
винтовую неустойчивость применительно
к установке типа «токамак». В токамаке
тороидальное поле (в случае цилиндра
с отождествленными концами – поле в
направлении оси z)
существенно превышает полоидальное,
.
Плазма занимает центральную часть
цилиндра,
.
Вакуум занимает область
.
Следовательно, в энергетический принцип
должен включать энергию поверхности и
вакуумной области. Энергия поверхности
имеет вид
.
(III.5.1)
Из условия равновесия
имеем:
.
(III.5.2)
На границе плазма
– вакуум полоидальное магнитное поле
непрерывно производная
также непрерывна, т.е.
.
(III.5.3)
Подставляя (III.5.3) в (III.5.1), находим, что
.
(III.5.4)
Вычислим теперь
вклад
от вакуумной области.
.
(III.5.5)
В вакуумной области
маитное поле можно прелставить как
градиент скалярной функции
,
.
Разлагая
в ряд Фурье по
и
,
получаем
.
.
При интегрировании
по
и
остаются только те члены, для которых
.
Тогда
.
(III.5.6)
Введем величину
.
Подставляя это выражение в (III.5.6),
получаем:
.
(III.5.7)
Таким образом,
функции
и
являются решениями уравнений Эйлера,
(III.5.8)
(III.5.9)
Решение уравнения
(III.5.9)
c
граничным условием
таково.
.
(III.5.10)
В пределе
выражение
(III.5.10)
упрощается:
,
(III.5.11)
а функционал, отнесенный к единице длны системы, принимает вил:
.
(III.5.12)
Пусть в цилиндре
с отождествленными концами на одном
периоде укладывается
периодов возмущения. Тогда
,
и
.
(III.5.13)
В результате получаем функционал в следующем виде:
.
(III.5.14)
Здесь
,
.
Первый член в
правой части (III.5.14)
отрицателен, если
,
или
(III.5.15)
Функцию
можно переписать, учитывая, (III.5.2),
так:
.
Оценим теперь
вклад в
последнего (интегрального) члена. Пусть
Тогда обе функции
и
имеют порядок
,
и последним членом в (III.5.14)
можно пренебречь. В этом случае величина
становится отрицательной, если
,
(III.5.16)
и любое начальное
возмущение нарастает. Скорость нарастания
возмущения можно оценить, используя
уравнение (II.2.3).
В фурье-представлении
,
где
- инкремент неустойчивости. С помощью
(II.3.3)
получаем:
.
(III.5.17)
Здесь
.
Максимальную величину инкремента по порядку величины можно оценить так:
.
(III.5.18)
Легко видеть, что этот инкремент по порядку величины равен отношению альфвеновской скорости к радиусу плазмы и может составлять в токамаке по порядку величины 10-8 с., т.е. развитие такой неустойчивости является одним из наиболее быстрых процессов.
Пусть теперь
.
Тогда функция
может быть порядка единицы в некоторой
области значений
,
,
(III.5.19)
где
.
Рис. 10. Качественная зависимость квадрата инкремента от для различных мод
Зависимость
от
качественно представлена на Рис. 10. Как
видно, области неустойчивости чередуются
с областями устойчивости, где
.
Именно в этих областях и работает
токамак.