Задача 2.
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
Решение.
а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,
где
.
(Подробности смотрите в пункте з) задачи
1.
Так как
то
б) Решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.
Составим расширенную матрицу данной системы.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.
Умножим каждый элемент второй строки матрицы нВ -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
Данная матрица
соответствует системе уравнений
,
решение которой совпадает с решением
исходной системы. Начиная с последнего
уравнения, несложно найти все неизвестные.
Действительно,
так как
и
,
то
.
Отсюда,
.
Из
имеем
.
Ответ:
в) Решение системы
в этом случае равно
,
где
-
обратная матрица для матрицы
,
- столбец свободных членов,
Δ – определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).
Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
Вычислим ее
определитель
.
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Тогда
Отметим, что ответы, полученные при решении разными методами, совпадают между собой.
Ответ:
Правила выбора варианта контрольной работы, ее оформление и зачета
Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студентам для переработки.
Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, номер группы, название дисциплины (высшая математика), номер контрольной работы, номер варианта. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.
Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.
Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.
При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.
Решение задач и
примеров следует излагать подробно,
объясняя все выполненные действия и
используемые формулы. Решение каждой
задачи должно доводиться до окончательного
ответа, которого требует условие. В
промежуточные вычисления не следует
вводить приближенные значения корней,
числа
и т.д.
Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Так, например, вычислив неопределенный интеграл, нужно проверить, равна ли подынтегральная функция производной от полученной первообразной. Полезно также, если это возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.
Срок проверки контрольных работ – 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.
После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и сдать работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений впоследствии.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять.
На экзамен студент должен явиться с рецензией на выполненную контрольную работу. Без предъявления преподавателю прорецензированных контрольных работ студент к экзамену не допускается.