9. Теорема Клеро. Формулы определения нормальной силы

тяжести

Клеро дал вывод своей теоремы (1743), основываясь на исследованиях фигур равновесия тел с неоднородной массой. При этом он принял Землю по форме за эллипсоид вращения с малым полярным сжатием, состоящий внутри из эллипсоидальных, однородных по плотности слоев, имеющих общий центр и совпадающие главные оси инерции.

Теорема Клеро позволяет определить нормальную силы тяжести на поверхности земного эллипсоида и сжатие земного эллипсоида. Она состоит из двух формул.

Первая формула теоремы Клеро устанавливает закон изменения нормальной силы тяжести на поверхности земного эллипсоида. Эта формула с учетом величин порядка второй степени сжатия имеет вид:

, (2.36)

– значение нормальной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида;

– значение нормальной силы тяжести на экваторе;

широта точки;

– коэффициент, показывающий избыток силы тяжести на полюсе по сравнению с экватором, выраженный в относительной форме:

, (2.37)

где – значение нормальной силы тяжести на полюсе;

983.2 гал, гал,

– коэффициент, зависящий от сжатия Земли:

. (2.38)

Вторая формула теоремы Клеро с членами второго порядка записывается в виде:

, (2.39)

где определяется по формуле (2.34).

Из 2.39 может быть вычислено сжатие эллипсоида

(2.40)

Вторая формула теоремы Клеро позволяет определить сжатие земного эллипсоида по результатам гравиметрических измерений на поверхности Земли.

В практике гравиметрических и геодезических работ широко используется первая формула теоремы Клеро, для которой определены численные значения коэффициентов , и по экспериментальным данным.

В странах бывшего СССР используется формула Гельмерта (1901—1908 гг.), которая, по сути, как и другие приведенные ниже формулы, является первой формулой теоремы Клеро с численными значениями коэффициентов.

Формула Гельмерта записывается в виде:

(2.41)

дано в мГал.

Данную формулу применяют в странах бывшего СССР вплоть до настоящего времени. Она была выведена Гельмертом на основании результатов измерения силы тяжести на 1603 пунктах. Значение сжатия Земли, соответствующее формуле Гельмерта, то есть вычисленное по формуле (3.10) при = 0,005302, оказалось равным 1:298.2 и практически совпадающим со сжатием эллипсоида Ф.Н.Красовского.

В некоторых странах используется формула нормальной силы тяжести Кассиниса, рекомендованная в качестве «международной формулы» в 1930 г. на съезде Международного геодезического союза в Стокгольме.

Формула Кассиниса имеет вид:

(2.42)

Эта формула соответствует эллипсоиду Хейфорда со сжатием =1:297.

Международная формула для геодезической референц-системы 1967 года, рекомендованная на ХV Генеральной ассамблее Международного геодезического и геофизического союза в Москве (1971 г.), имеет следующие коэффициенты:

(2.43)

Следует отметить, что коэффициент формул Гельмерта и Кассиниса нормальной силы тяжести нуждается в уточнении нуждается в уточнении за счет погрешности Потсдамской системы на -14 мГал.

И, наконец, в 1984 году Мориц опубликовал международную формулу для геодезической референц-системы 1980 года со следующими коэффициентами:

(2.44)

Коэффициенты в двух последних формулах получены с использованием спутниковых данных и с учетом массы атмосферы. Сжатия эллипсоидов для них составляют, соответственно, 1:298.247 и 1:298.257.

Переход той или иной страны к новой формуле нормальной силы тяжести связан с перевычислением большого числа гравиметрических данных, с изменением гравиметрических карт и каталогов. Поэтому, учитывая чисто служебный характер нормальной формулы, не следует прибегать к частому изменению ее коэффициентов. В случае необходимости проще вводить поправки в конечные выводы.