3. Двойственная природа коэффициента устойчивости для проверки устойчивости центрально сжатых стержней

В соответствии с первым предельным состоянием устойчивость сжатого стержня будет обеспечена, если s = N/A≤s_cr,еg_c. Умножив и поделив правую часть на расчетное сопротивление R_y и введя обозначение

называемоекоэффициентом устойчивости, получим формулу для проверки устойчивости центрально сжатых стержней

Коэффициент j имеет двойственную природу

где j₁= s_cr/ R_y<1— детерминированный коэффициент, учитывающий собственно явление продольного изгиба; j₂ = s_cr,е/ s_cr<1 — статистический коэффициент, учитывающий влияние случайных факторов, вызывающих дополнительный поперечный изгиб.

3. Основы работы и расчета на прочность стержней, испытывающих сжатие или растяжение с изгибом.

При одновременном действии на стержень осевой силы N изгибающего момента М несущая способность его определяется размерами поперечного сечения и предельной прочностью материала.

Для случая сжимающей осевой силы это справедливо при обеспечении общей устойчивости стержня и местной устойчивости его элементов.

В упругой стадии работы материала напряжения в поперечном сечении стержня могут быть представлены в виде суммы напряжений от центрального сжатия s_N= N/Aи от изгиба s_м= M_y/ W_x. При достижении текучести в наиболее сжатой части сечения напряжения будут ограничиваться пределом текучести, а с противоположной стороны будут возрастать напряжения растяжения.

В предельном случае эпюра напряжений будет состоять из двух прямоугольников разной величины.В общем случае, когда действует осевая сила N и моменты в двух направлениях МхиМу, предельную несущую способность по прочности проверяют по формуле

г де Аn, Wxn,min, Wyn,min— площадь и соответствующие моменты сопротивления нетто поперечного сечения стержня; сх, су, n— коэффициенты, учитывающие резерв несущей способности материала при развитии пластических деформаций.

Для конструкций, выполненных из высокопрочных сталей (sт>58 кН/см2), а также в случаях, когда по условиям эксплуатации появление пластических деформаций недопустимо, например при непосредственном воздействии на них динамических нагрузок, в проверочной формуле следует положить п = сх = су= 1.

Развитие пластического шарнира при действии на стержень осевой силы и изгибающего момента:

а — эпюра напряжений при упругой работе материала;

б— то же, в упругопластической стадии;

в — распределение напряжений и усилий в поперечном сечении стержня при образовании пластического шарнира

3. Основы работы и расчета на устойчивость внецентренно сжатых и сжато-изогнутых стержней.

Р абота внецентренно сжатого стержня:

а — расчетная схема; б — зависимость между нагрузкой и прогибом стержня

Потеря несущей способности длинных гибких стержней при одновременном действии сжимающей силы и изгибающего момента происходит от потери устойчивости. При этом соответствующие состояния равновесия могут быть определены так же, как для центрального сжатия, с помощью энергетического баланса при вариации формы изогнутой оси стержня, а именно, dАi>dАе — устойчивое состояние, dАi<dАе — неустойчивое состояние, dАi=dАе— критическое состояние.

Механическое поведение стержня можно проследить на графике N—f. В отличие от центрального сжатия здесь прогиб появляется с самого начала приложения нагрузки и возрастает с ее ростом, вначале линейно в соответствии с линейным поведением материала, а затем график начинает отклоняться от прямой по мере развития в стержне пластических деформаций и заметного проявления геометрической нелинейности в работе стержня (участок а—т).

Наибольшая несущая способность стержня (точка т на графике) соответствует критическому состоянию Nmax = Ncr,e. Левее точки т — устойчивое состояние, правее — неустойчивое.

1 . Напряженно-деформированное

состояние внецентренно сжатого стержня вмомент потери устойчивости:

а — эпюры напряжений; б — поперечное сечение стержня

Эпюра напряжений на рис. 1, а представлена в виде суммы двух эпюр: средних напряжений s₀ = N/Аи напряжений от изгиба s_и = ρ_yE_s(ρ — кривизна). Две части поперечного сечения А₁и А₂разделены осью х, являющейся нейтральной для компоненты изгибного напряжения s_и. Заштрихованная фигура аа'ЬЬ' представляет собой вариацию изгибных напряжений от виртуального прогиба стержня.

2. Определение физических и геометрических характеристик равновесного состояния внецентренно сжатого стержня:

а — определение нейтральной оси стержня при изгибе; б — графики модулей деформаций

На рис. 2 Esи Еt— секущий и касательный модули деформаций:

Е_s= s/e;Е_t= ds/de.

Схему решения задачи нахождения критической силы N_cr,eможно представить следующим образом. При фиксированномN = const, задавая различные значения прогибов стержня, можно вычислить соответствующие значения момента внутренних сил Mi = Int(s_и ydA) (рис.3). График Ме = N(e +f) является линейной функцией f. Критическое состояние соответствует точке касания т двух графиков. Действительно, в этой точке выполняется условие равновесия Ми= Меи условие критического состояния dMi= dМе.

3 . Условие критического состояния внецентренно сжатого стержня

Трудность заключается в том, чтобы получить ситуацию, изображенную на рис.3: при заданном N = constпрямая Мeдолжна касаться кривой Мi. Тогда значение N будет критическим Ncr,e. При произвольном задании N эти графики могут расходиться либо пересекаться. Однако последовательные целенаправленные повторы такой графоаналитической процедуры при различныхN могут привести к желаемому результату.

На практике при использовании современной вычислительной техники задаче о нахождении критической силы сводится к решению системы уравнений, получаемых из вариационного условия критического состояния и условий равновесие стержня.

Критическая сила зависит от эксцентриситета е. При его увеличении критическая сила уменьшается. На практике удобнее пользоваться безразмерным относительным эксцентриситетом т = е/ρ, где ρ = W/А — ядровое расстояние со стороны наиболее сжатой фибры стержня.