8.2 Идентификация моделей нелинейных статических систем

М

одель нелинейной статической системы задается в виде зависимости откликов системы на входные воздействия :

,

где - постоянные параметры, входящие в эти выражения,

- число параметров каждой - того уравнения системы уравнений .

Общее число идентифицируемых параметров равно сумме чисел параметров в каждом уравнении .

Функции заранее выбираются так, чтобы при аккуратном подборе входящих в них коэффициентов характер протекания функций соответствовал экспериментальным данным.

Процедура идентификации объекта по каждому -тому уравнению заключается в том, что на вход объекта исследования подаются комбинации воздействий, заранее известные или измеряемые с определенной точностью, и измеряются значения откликов системы. В каждом - том эксперименте воздействиям искусственно придают значения , где - общее число экспериментов, а отклики системы принимают значения .

Если число экспериментов равно числу параметров модели , то все параметры каждого - того уравнения системы уравнений находятся решением системы уравнений:

Однако для повышения точности определения параметров модели число экспериментов обычно делают большим числа идентифицируемых параметров . Система уравнений, определяющих параметры объекта, становится избыточной и в общем случае несовместимой. Ни при каких значениях параметров не возможно удовлетворить условиям одновременно всех уравнений системы. Теперь система уравнений принимает вид:

где - величины, называемые невязками системы уравнений.

Наиболее часто для решения такой избыточной системы уравнений применяют метод наименьших квадратов, в соответствии с которым параметры модели вычисляют таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов невязок .

Подставляя сюда выражения для невязок как разностей между откликом объекта, соответствующим идентифицируемой модели

,

и действительно наблюдаемым откликом , получаем развернутое выражение для суммы квадратов невязок, зависящее от параметров модели:

.

Искомые параметры находятся решением системы уравнений:

Важно помнить, что по результатам идентификации мы определили не сами значения параметров, а только лишь их оценки. Оценки параметров – это случайные величины, являющиеся суммой искомых параметров и погрешностей их определения. Последние скрыты в погрешностях, с которыми заданы или измерены входные воздействия и с которыми измерены отклики объекта . Проблема определения доверительных интервалов для параметров объекта до сих пор не имеет общего решения и только в некоторых конкретных случаях поддается анализу.

В качестве примера попробуем идентифицировать модель развития микропроцессорной техники, предложенную когда-то одним из основателей корпорации Intel Гордоном Муром и известную как закон Мура. В соответствии с этим законом число транзисторов на кристалле микропроцессора должно удваиваться за каждый промежуток времени , что выражается формулой , где - число транзисторов в некоторый нулевой момент времени. Идентификация модели сводится к определению единственного параметра модели . В качестве исходных данных (результатов экспериментов) примем выборку из числа созданных Intel изделий.

Тип процессора	Число тысяч транзисторов	Год разработки	Время в годах
4004	=2.3	1971	0
8008	3.5	1972	1
8080	6	1974	3
8088	29	1979	8
286	134	1982	11
386	275	1986	15
486	1200	1989	18
Pentium	3500	1993	22
Pentium PRO	5500	1995	24
Pentium II	7500	1997	26
Pentium III	9500	1999	28
Pentium IV	42000	2000	29
Pentium IV M	75000	2001	30

Исходную модель прологарифмируем, обозначим время через и приведем к виду:

.

Теперь мы имеем транспонированный вектор значений входной переменной

и транспонированный вектор значений выходной переменной

Очевидно, что . График зависимости представлен на рисунке. Зависимость близка к линейной зависимости, соответствующей модельному уравнению .

Сумма квадратов невязок имеет вид:

Неизвестный параметр определяется таким образом, чтобы сумма квадратов невязок обратилась в минимум, то есть, чтобы прямая линия на графике, аппроксимирующая исходные данные, прошла бы около экспериментальных данных таким образом, чтобы сумма квадратов ее расхождений с этими точками была как можно меньше. Это условие реализуется, если . Поэтому параметр модели закона Мура следует определить из условия:

Подставляя сюда все исходные данные, получаем значение года. Это означает, что в соответствии с законом Гордона Мура число транзисторов на одном кристалле процессора возрастает в два раза каждые 2.115 года.