7.5.3. Идентификация параметров параллельной модели Хаммерштайна

Рассмотрим точную модель Хаммерштайна, изображенную на рисунке 3.2., содержащую бесконечное число параллельных ветвей. Каждая из входных нелинейностей модели в частотной области будет описываться следующим степенным рядом:

За нелинейным элементом в каждой из параллельных ветвей модели подключен линейный динамический блок с некоторым комплексным коэффициентом передачи. Учитывая влияние линейного динамического блока, получим описание отклика рассматриваемой ветви модели в частотной области:

Просуммировав отклики всех параллельных ветвей, получим аналитическое описание отклика всей модели:

Упростим последнее уравнение, введя следующее обозначение:

В этом случае уравнение (3.3) становится более компактным:

Фактически, мы получили динамический вариант классического степенного ряда (2.59), приведенного в предыдущей главе. Разница между этими уравнениями состоит только в коэффициентах: уравнение (2.59) имеет статические коэффициенты -a_i, а в уравнении (3.3) они заменены на динамические коэффициенты –H_i(j ), являющиеся комплексной функцией частоты. Можно считать, что переход от описания статической нелинейности к описанию нелинейного динамического объекта в частотной области может быть осуществлен формальной заменой статических (постоянных) коэффициентов степенного ряда на динамические (переменные) коэффициенты, являющиеся функцией частоты.

При описании исследуемого нелинейного объекта динамическим степенным рядом задача идентификации сводится к определению вектора динамических коэффициентов. Сама же модель Хаммерштайна трансформируется в структуру, приведенную на рисунке 3.6.

Рис. 3.6. Вид модели Хаммерштайна при ее описании степенным рядом

Один из способов определения параметров параллельной модели Хаммерштайна [28-32] сводится к усечению степенного ряда с последующим решением соответствующей системы линейных уравнений. При использовании нескольких детерминированных тестовых воздействий решаемая система линейных уравнений принимает вид (3.4):

Эта система должна решаться несколько раз для различных значений параметра . Используемые при синтезе системы детерминированные воздействия могут отличаться мощностью, распределением мощности по спектру частот или хотя бы фазовыми спектрами.

В том случае, когда исследование объекта осуществляется на случайных тестовых воздействиях, необходимо от уравнения (3.3) перейти к его корреляционному аналогу [33,34]. Корреляционное уравнение получается домножением (3.3) на мгновенный комплексно-сопряженный спектр X^(k)(-j ) с последующим усреднением произведений мгновенных спектров. В результате этих операций получается следующий корреляционный ряд:

(3.5),

где

Эти преобразования уже использовались в предыдущей главе.

Если усечь корреляционный ряд (3.5), то определение динамических параметров усеченного ряда будет сводиться к решению следующей системы линейных уравнений:

Все уравнения системы (3.6) построены на одной достаточно длинной реализации входного случайного воздействия. В случае использования случайного тестового воздействия с симметричной плотностью распределения значений р(х)=р(-х) система уравнений (3.6) распадется на две системы меньшей размерности для четных и нечетных динамических коэффициентов. Последнее происходит из-за исчезновения корреляции между откликами четных и нечетных парабол (2.74), что существенно улучшает устойчивость процедур решения систем линейных уравнений.

228