Характеристика колебаний:

1. Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

2. Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

3. Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

4. Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

5. Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

6. Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Ч астота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

№20.

Физический маятник. Гармонические колебания физического маятника. Кинетическая и потенциальная энергия маятника. Полная энергия.

Физический маятник – тело произвольной формы, совершающее колебания в поле тяжести вокруг горизонтальной оси, проходящей выше центра масс.

Уравнение движения маятника записывается в виде:

где J - момент инерции маятника относительно оси вращения,

φ- угол отклонения маятника от положения равновесия,

-угловое ускорение;

t- время, M - момент всех сил, действующих на маятник.

При небольших углах отклонения α физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

.

Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

В состоянии равновесия потенциальную энергию маятника будем считать равной нулю. Тогда при отклонении маятника на угол θ потенциальная энергия будет равна: Е_n= mga(1-cosθ)

Кинетическая энергия маятника: E_k=1/2Iθ²

В этом выражении I - момент инерции маятника относительно оси вращения,

θ - первая производная от угла поворота по времени (угловая скорость ).

Полная механическая энергия маятника: Е= Е_k + Е_n = 1/2Iθ²+ mga(1- cosθ) (1)

Если угол отклонения от положения равновесия θ мал, то cosθ≈1-θ²/2

Тогда выражение (1) можно переписать в виде E=1/2 Iθ²+1/2mgaθ²

№21.

Распространение колебаний в однородной упругой среде. Фронт волны. Поперечные и продольные волны. Уравнение плоской бегущей волны.

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью х. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

                                                          (154.1)

откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

                                     (154.2)

где А = const — амплитуда волны, w — циклическая частота, j₀ — начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w (t—x/v)+ j₀] — фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

                                                         (154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

                                         (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть.

№22.