Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент силы и момент инерции. Кинетическая энергия вращающегося тела. Основной закон динамики вращательного движения.

Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций. При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственным числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.

При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.

Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δφ, то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δs = R Δφ . Разделив обе части последнего уравнения на Δt, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью w вращения:

D s/ Δ t = R Δ φ / Δ t

или

V = Rw

Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.

Момент силы — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы.

Моменту силы можно дать еще и другое определение. Момент силы F на рис. 119 есть M=rF\'. Опустим перпендикуляр d из точки О на направление силы. Прямоугольные треугольники на чертеже подобны, ибо их соответственные углы равны. Следовательно,  Рис. 118. Моменты  сил F₁ и F₂ положительны, момент силы F₃ отрицателен. Рис. 119. Момент силы можно выразить через силу и плечо силы, M=Fd. Рис. 120. Равные силы F₁, F₂, F₃ с одинаковым плечом d имеют равные моменты относительно оси О. Следовательно, M=Fd, т. е. момент силы равен произведению силы F на длину перпендикуляра d, опущенного из оси на направление силы.

Длину перпендикуляра, опущенного из оси на направление силы, называют плечом силы. Значит, момент силы равен произведению величины силы на плечо силы. Ясно, что перенесение точки приложения силы вдоль ее направления не меняет ее момента (рис. 120). Если направление силы проходит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следовательно, равен нулю и момент силы этом случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси.

Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси и находящегося под действием двух сил. Как мы видели, для равновесия необходимо, чтобы силы стремились вращать тело в противоположных направлениях и чтобы произведения сил на их расстояния до оси были равны. Значит, при равновесии моменты обеих сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Таким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:

 

Момент инерции всего тела относительно оси равен:

 

или, для непрерывно распределенной массы:

 

Момент инерции всего тела сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

(5.11)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

(5.12)

где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

- момент инерции тела относительно оси вращения z, - угловое ускорение тела, - сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения, - индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собой основной закон динамики вращательного движения.

№9.