8 Вывод формулы для координат центра давления на плоскую стенку.

 

Ранее была определена величина силы гидростатического давления на плоскую фигуру произвольной формы.

Для того чтобы окончательно решить вопрос о характере воздействия жидкости на плоскую фигуру, необходимо, также найти положение точки приложения этой силы, т.е. найти координаты точки D.

Точка приложения силы гидростатического давления называется центром давления.

Снова рассмотрим открытый сосуд с наклонной стенкой, заполненный жидкостью. Также наметим на стенке плоскую фигуру произвольной формы и изобразим её проекцию (воспроизведём рис. 5.1. с некоторыми уточнениями в области центра давления) (рис.6.1).

 

Как уже говорилось ранее, сила гидростатического давления P на фигуру ω направлена по нормали к её плоскости.

Эта сила P является геометрической суммой сил поверхностного P_A и весового P_вес. давления.

Центр давления силы P_A будет совпадать с центром тяжести, так как поверхностное давление p₀ (часто p₀=p_атм.), передаваясь через жидкость распределяется равномерно по рассматриваемой площади ω (p₀ не изменяется с глубиной в соответствии с законом Паскаля).

Центр давления D_вес. силы весового давления P_вес. будет расположен ниже центра тяжести, так как весовое давление распределено статически (в соответствии с основным уравнением гидростатики) и, значит, неравномерно по площади фигуры. Чем глубже располагается точка фигуры, тем большее давление она испытывает.

Центр давления D силы абсолютного давления P найдётся в результате геометрического сложения сил P_A и P_вес.

Таким образом, для определения координат точки D необходимо найти координаты точки D_вес.

 

Найдём расстояние l_D вес. (см. рис. 6.1.). Для этого будем использовать теорему Вариньона: Момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил. (При этом далее будем рассматривать только силы весового давления.)

 

 

Рис. 6.1 К определению координат центра давления.

 

Запишем теорему Вариньона относительно оси OX.

- Момент равнодействующей силы весового давления:

 

- Сумма моментов составляющих сил – частей силы Р_вес., приходящихся на элементарные площадки dω. (Площадка dω определятся также, как и при выводе формулы для определения величины силы Р в п.6). Итак, момент элементарной силы давления:  , сумма моментов:

 

Заметим, что здесь рассматриваются только силы весового давления, но не учитывается сила поверхностного давления.

Итак, теорема Вариньона:

так как

;

,

Выражение   представляет собой момент инерции относительно оси OX, тогда:

 

Момент инерции I_x можно определить, зная величину I_o момента инерции площади фигуры относительно оси, проходящей через её центр тяжести по следующей зависимости:

 

С учётом этого расстояние от оси ОХ до центра весового даления:

 

 

(S_x – статический момент относительно оси ОХ).

или

 

где e – эксцентриситет давления – расстояние между центром тяжести и центром избыточного давления.

Для нахождения координаты Х_D вес. аналогично составляют уравнение моментов относительно оси ОZ. В случае симметричной фигуры относительно вертикальной оси, проведённой через центр тяжести (точнее говоря, оси, образованной пересечением вертикальной плоскости, проведённой через центр тяжести и плоскостью фигуры) центр давления D_вес. будет располагаться на этой оси.