9 Давление на цилиндрические и сферические поверхности.

 

Рассмотрим открытый сосуд, заполненный покоящейся жидкостью. Одна из стенок сосуда имеет цилиндрическое очертание.

                                                        (.) 0 – центр кривизны поверхности.

Рис.7.1

 

В соответствии с I свойством гидростатического давления в каждой точке такой поверхности давление направлено по нормали. Следовательно, в случае цилиндрической (и сферической) поверхности направление результирующей силы давления P всегда проходит через центр кривизны поверхности.

В общем случае криволинейной поверхности с несколькими центрами кривизны это не выполняется – через центр кривизны поверхности в данной точке проходит только направление элементарных составляющих сил.

Результирующую силу давления P можно разложить на де составляющие:

 

Таким образом, дя определения величины и направления силы P необходимо определить Р_в и P_г. Найдём Р_в и P_г.

 

Рис. 7.2. К определению величины силы давления на криволинейную поверхность

 

[1]  Для этого выделим на рассматриваемой криволинейной поверхности элементарную площадку d (Рис. 7.2).  В связи с малостью её размеров её можно считать плоской. Центр площадки находится на глубине h.

[2]  На эту площадку действует сила dP, обусловленная гидростатическим давлением в точке, соответствующей центру площадки. Как и ренее, пренебрегаем изменением давления при перемещении вдоль площадки в связи с малостью её размеров.

 

 

Горизонтальная составляющая силы dP:

 

Из рисунка 7.2 видно, что

 - вертикальная проекция площадки d

Таким образом:

 

Проинтегрируем последнее выражение по площади  поверхности сосуда, для того чтобы получить величину горизонтальной составляющей силы давления на эту поверхность.

 

поскольку

 - статический момент

вертикальной проекции площади d относительно оси OX. (В данном случае ось OX направлена нормально к плоскости чертежа, она находится на прямой, образованной пересечением цилиндрической поверхности и плоскостью свободной поверхности жидкости).

h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции площади .

 - вертикальная проекция площади 

(сумма вертикальных проекций элементарных площадок d_в).

 

Таким образом:

 

Это утверждение можно распространить и на случай других криволинейных поверхностей (нецилиндрических).

 

 

Вертикальная составляющая силы давления dP на элементарную площадку:

                    (*)

аналогично   - горизонтальная проекция площадки d.

Для определения величины вертикальной составляющей силы давления на рассматриваемую поверхность проинтегрируем (*) по площади .

 

 

где

 – объём жидкости, находящийся над элементарной площадкой d;

 – объём жидкости, находящийся над криволинейной поверхностью – объём тела давления;

 – горизонтальная проекция площади криволинейной поверхности;

 

 - вес тела давления.

 

Итак:

 

Это утверждение также можно распространить и на случай других криволинейных поверхностей (нецилиндрических).

 

Зависимости, полученные для величин горизонтальной и вертикальной составляющих силы гидростатического давления на криволинейные поверхности справедливы также и для плоских поверхностей.

В случае определения составляющих силы избыточного гидростатического давления при давлении на поверхности жидкости равном атмосферному, давление на поверхности жидкости следует принимать равным нулю.