№ 23. Суть аппроксимации экспериментальных данных. Методы установления вида однофакторных зависимостей

Одной из важнейших задач физического эксперимента является установление зависимостей между изучаемыми признаками. Для этого проводят ряд измерений величины отклика при различных значениях фактора.

Далее путем совместной обработки всех полученных значений определяют математическое выражение вида , описывающее связь между экспериментальными данными. Это уравнение называют уравнением регрессии (регрессией), а соответствующую ему кривую – линией регрессии.

Задачу, связанную с определением указанного математического выражения, принято называть аппроксимацией.

На практике аппроксимацию осуществляют в два этапа:

1. Определяют вид зависимости (форму линии регрессии).

Результаты эксперимента содержат так называемый шум. Поэтому стараются найти достаточно простую линию регрессии. Чтобы сглаживала шум.

Рассмотрим некоторые простейшие методы установления вида однофакторных зависимостей.

— Метод контура.

Он предполагает обведение контура границ полосы рассеяния экспериментальных точек. По форме получаемого в результате облака экспериментальных точек чаще всего оказывается возможным судить о виде функциональной зависимости. Для этого внутри облака на глаз проводят его осевую линию, которая отражает форму искомой зависимости.

— Метод медианных центров.

При большом разбросе результатов измерений контурный метод часто оказывается неприменим, так как облако экспериментальных точек приобретает случайные очертания и в нем нельзя найти ось. Для реализации метода медианных центров обведенное облако экспериментальных точке делят на несколько частей. В каждой из этих частей находят медианный центр. Он представляет собой точку пересечения двух прямых, каждая из которых параллельна одной из координатных осей. Причем число точек выше и ниже прямой, параллельной оси X, должно быть равным. Так же и по обе стороны прямой, параллельной Y.

Плавная кривая, объединяющая медианные центры, будет отражать форму искомой линии регрессии.

2. После того, как указанная форма определена, переходят ко второму этапу аппроксимации. На этом этапе по форме линии выбирают функциональную зависимость: c явным указанием все параметров а, подлежащих определению. Далее находят конкретные значения этих параметров. Эту задачу обычно решают с использованием так называемого метода наименьших квадратов.

№ 24. Метод наименьших квадратов

В соответствии с этим методом, оценки параметров определяют из условия минимума суммы квадратов отклонений значений , от соответствующей ординаты рассмотренной кривой, т.е.

Это выражение справедливо для случая равноточных измерений. Если же измерения неравноточны, т.е. характеризуются различными дисперсиями, то необходимо учесть веса измерений , представляющие собой величины обратно пропорциональные дисперсиям.

Так, МНК для неравноточных измерений имеет вид:

Для нахождения точки минимума величины надо приравнять к нулю ее частные производные по . В результате имеем систему из m уравнений с m неизвестными.

Система называется системой нормальных уравнений. Получаемые их этой системы коэффициенты принято называть коэффициентами регрессии y по , y по и т.д.