№ 15. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины (дифференциальная и интегральная функции)

При изучении непрерывных случайных величин в качестве события, вероятность которого в общем случае отлична от нуля, рассматривают вероятность попадания случайной величины X в элементарный интервал x, x+dx. Вероятность такого события:

- функция значений случайной величины, называемая плотностью вероятности.

На практике для выявления распределения вероятностей рассматривают некоторое множество интервалов в диапазоне возможных значений в каждый из этих интервалов. Расположив значения в порядке возрастания и обозначив соответствующие вероятности, получим ступенчатую кривую — гистограмму.

При гистограмма переходит в плавную кривую распределения плотности вероятности непрерывной величины X. Соответствующее уравнение называет законом распределения.

Функция, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение, не превышающее x, называется интегральной функцией распределения. Очевидно, что:

Поэтому плотность вероятности называют также дифференциальной функцией распределения.

№ 16. Числовые характеристики случайных величин

В ряде случав для описания свойств случайных величин удобнее пользоваться не законами их распределения, а некоторыми связанными с этими законами числовыми вероятностными характеристиками, которые называют начальными и центральными моментами.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание (теоретическое среднее значение) k-ой ее степени:

Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание k-ой степени ее отклонения от среднего значения:

Первый центральный момент всегда равен нулю.

Второй центральный момент называется дисперсией и характеризует рассеяние случайной величины относительное ее математического ожидания.

На практике в качетве характеристики рассеяния часто используют положительное значение корня квадратного из дисперсии – среднее квадратическое отклонение (СКО).

Третий центральный момент характеризует ассиметрию распределения случайной величины. Коэффициент ассиметрии или просто ассиметрию определяют выражением:

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения. Величину, определенную по формуле называют эксцессом распределения.

Классификацию распределений по степени их протяженности можно осуществлять с помощью коэффициента эксцесса:

Для классификации распределений по форме можно использовать изменяющийся от 0 до 1 контрэксцесс:

Кроме указанных ранее начальных и центральных моментов, в качестве числовых характеристик при обработке данных используют коэффициент вариации и квантили распределения.

№ 17. Выборочный метод в математической статистике

Генеральная совокупность – полное множество всех возможных значений случайной величины (результатов отдельных измерений).

Однако из-за ряда (экономических, технических и др.) число экспериментально полученных значений изучаемой величины всегда ограничено некоторым действительным множеством, выборкой. Выборка, являясь лишь одним из вариантов наблюденных значений физической величины, не содержит точной информации об ее распределении. Тем не менее, она позволяет получить оценки числовых характеристик плотности и функции распределения, что является предпосылкой выборочного метода.

Наиболее важным принципом в применении этого метода является обеспечение равно вероятности всем элементам, образующим генеральную совокупность, быть выбранными. Реализация этого принципа позволяет получить так называемую репрезентативную выборку, характеристики которой при увеличении числа составляющих ее элементов стремятся к характеристикам генеральной совокупности.